隨機(jī)環(huán)境中下臨界分枝過(guò)程中的一些極限定理.pdf

1、本文給定隨機(jī)環(huán)境ζ，其中ζ:={ζn}={ζn(ω)：n=0,1,2…}是(Ω，F(xiàn),P)上的平穩(wěn)遍歷序列，{Zn，n≥0}是在隨機(jī)環(huán)境ζ中的分枝過(guò)程，則環(huán)境序列ζ的一個(gè)實(shí)現(xiàn)決定了分枝過(guò)程{Zn，n≥0}一個(gè)繁衍概率母函數(shù)序列{fn}(n≥0)，其中fn:=fn(s):=fζn(s)=∞∑i=0Pi(ζn)si，Pi(ζn)≥0且∞∑i=0Pi(ζn)=1，(n≥0)。本文研究的隨機(jī)環(huán)境中分枝過(guò)程{Zn，n≥0}是一族非時(shí)齊的分枝過(guò)程并且

2、在其繁衍母函數(shù)序列{fn}(n≥0)獨(dú)立同分布的條件下其繁衍規(guī)律與隨機(jī)環(huán)境中Gaton-Watson過(guò)程種族繁衍規(guī)律相同。根據(jù)定義Z0=1、Zn+1=Zn∑i=1Xn，i(n≥0)，在環(huán)境序列ζ的條件下，{Xn,i；i≥1}是彼此獨(dú)立且獨(dú)立于Zn的實(shí)值隨機(jī)變量并有共同的概率母函數(shù)。 因此E[szn|ζ]=fζ0(fζ1(…fζn-1(s)…))，0≤s≤1，又因?yàn)棣婆c母函數(shù)序列{fn}(n≥0)是一一對(duì)應(yīng)的，為方便可將{fn}(

3、n≥0)當(dāng)成環(huán)境序列作為給定條件，則當(dāng)Z0=1時(shí)有E(szn|，f0，f1，…)=f0(f1(…fn-1(s)…))，0≤s≤1，特別，當(dāng)對(duì)上式求導(dǎo)并令s=1時(shí)則得E(Zn|f0，f1，…)=f0'(1)f1'(1)…fn-1(1)。在Z0已知的情況下，可以看出{Zn，n≥0}的分布可由繁衍母函數(shù)序列{fn}(n≥0)具體表出。在fn獨(dú)立同分布和Elogf0(1)存在的條件下由大數(shù)定理有l(wèi)imn→∞1/nlogE(Zn|f0,f1，…)

4、=limn→∞1/nn∑i=1logfi-1'(1)a.s=Elogf'(1)其中f表示與fn有同分布的概率母函數(shù)，f'(1)表示每個(gè)個(gè)體孩子數(shù)的均值。隨機(jī)環(huán)境中的分枝過(guò)程{Zn，n≥0}根據(jù)Elogf'(1)的取值不同將其分類，具體而言可按照Elogf'(1)＞0、Elogf'(1)=0和Elogf'(1)＜0三種情況，而相應(yīng)將分枝過(guò)程{Zn，n≥0}分為是上臨界分枝過(guò)程、臨界分枝過(guò)程和下臨界的分枝過(guò)程。眾所周知在臨界和下臨界分枝過(guò)程

5、中，當(dāng)n→∞時(shí)，第n代個(gè)體數(shù)Zn是依概率1趨于0的。特別，對(duì)于下臨界的分枝過(guò)程{Zn，n≥0}，其第n代的個(gè)體的存活概率P(Zn＞0)以很快的指數(shù)級(jí)形式衰退，且其衰退速度依賴于E[f'(1)logf'(1)]的取值，更具體是依賴E[f'(1)logf'(1)]小于0，E[f'(1)logf'(1)]等于0還是E[f'(1)logf'(1)]大于0。在下臨界的情況(即Elogf'(1)＜0時(shí))，根據(jù)E[f'(1)logf'(1)]的取值不

6、同隨機(jī)環(huán)境中的分枝過(guò)程{Zn，n≥0}可進(jìn)一步細(xì)分，即按E[f'(1)logf'(1)]＜0，E[f'(1)logf'(1)]=0和三種情況將下臨界的分枝過(guò)程{Zn，n≥0}相應(yīng)分為強(qiáng)下臨界的分枝過(guò)程，中下臨界的分枝過(guò)程和弱下臨界的分枝過(guò)程。在E[f'(1)logf'(1)]＜0(強(qiáng)下臨界)時(shí)P(Zn＞0)～c1(Ef'(1))n即分枝過(guò)程{Zn，n≥0}第n代的個(gè)體數(shù)的存活概率以c1(Ef'(1))n的指數(shù)級(jí)的速度衰退，當(dāng)在E[f'(

7、1)logf'(1)]=0(中下臨界)時(shí)P(Zn＞0)～c2n-1/2(Ef'(1))n即分枝過(guò)程{Zn，n≥0}第n代的個(gè)體數(shù)的存活概率以c2n-1/2(Ef'(1))n的指數(shù)級(jí)的速度衰退，當(dāng)在E[f'(1)logf'(1)]＞0(弱下臨界)時(shí)P(Zn＞0)～c3n-3/2(inf0≤1≤1Ef'(1)t)n即分枝過(guò)程{Zn，n≥0}第n代的個(gè)體數(shù)的存活概率以c3n-3/2(infEf'(1)')n的指數(shù)級(jí)的速度衰退。 本文在

8、f'(1)logf'(1)可積的假設(shè)下和前人研究出的在下臨界分枝過(guò)程{Zn，n≥0}存活概率P(Zn＞0)的漸近行為基礎(chǔ)上利用測(cè)度變換和隨機(jī)游動(dòng)的有關(guān)知識(shí)確定了在隨機(jī)環(huán)境中下臨界分枝過(guò)程{Zn，n≥0}在強(qiáng)下臨界、中下臨界前兩種情況下，存活概率P(Zn＞0)的精確的漸近行為(即確定了c1和c2的具體表達(dá)式)。而且證明在Zn＞0的條件下，Zn有非退化的極限分布。 在強(qiáng)下臨界下存活概率P(Zn＞0)的精確的漸近行為為P(Zn＞0)～

9、c1(Ef'(1))n，其中c1=E(1+∞∑k=1ξk-1exp((S)k))-1，并證明了Zn＞0的條件下，Zn有非退化的極限分布limn→∞P(Zn=k|Zn＞0)=q1(k)(k≥1)這里n∑i=1q1(k)=1且n∑i=1kq1(k)＜∞。在中下臨界存活概率P(Zn＞0)的精確的漸近行為為：當(dāng)n→∞，P(Zn＞0)～c2n-1/2(Ef'(1))n其中c2：=limn→∞n1/2E[exp(-(S)n)(1-fn,0(0))]