相依隨機(jī)變量序列的極限定理.pdf

1、概率極限理論不僅是概率論的主要分支之一，而且也是概率論其它分支和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要理論基礎(chǔ)．前蘇聯(lián)著名的概率學(xué)家Kolmogorov曾說(shuō)過(guò)：”概率論的價(jià)值只有通過(guò)極限定理才能被揭示，沒(méi)有極限定理就不可能去理解概率論中的基本概念的真正含義.”經(jīng)典的中心極限定理是概率論的重要基礎(chǔ)，它廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)、自然科學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué).它的方法和結(jié)果將繼續(xù)對(duì)概率論的其它分支，數(shù)理統(tǒng)計(jì)和它們的應(yīng)用產(chǎn)生巨大影響.而對(duì)幾乎處處極限定理和自賦范極限理論的研究則是近

2、幾十年來(lái)概率極限理論研究中的兩個(gè)重要方向.本文主要對(duì)幾乎處處極限定理和自賦范極限理論進(jìn)行研究. 對(duì)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列{Xn，n≥1)，Brosamler(1988)和Schatte(1988)首先獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了幾乎處處中心極限定理(ASCLT)，他們得到：如果{Xn，n≥1)是具有均值為零方差為1的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，Sn=∑i=1nXi，且E|Xi|2+δ＜∞(δ＞0)，則對(duì)所有xlimn→∞1/lonnn∑i=11/

3、iI{si/√i≤x}1/√2π∫x-∞e-u2/2dua.s.成立，其中I是示性函數(shù).自此以后，許多作者研究了幾乎處處中心極限定理.Lacey和Philipp(1990)，Schatte(1991)，Cs(o)rg(o)和Horváth(1992)，Berkes和Dehling(1994)，Berkes(1995)等得到了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的幾乎處處極限定理.Berkes和Dehling(1993)，Berkest和Csáki(2

4、001)則考慮了獨(dú)立不同分布隨機(jī)變量序列的幾乎處處中心極限定理.而Peligrad和Shao(1995)，Lesigne(1999)研究了相依隨機(jī)變量的幾乎處處中心極限定理.幾乎處處極限定理的一般形式是：如果{Xn，n≥1)是一隨機(jī)變量序列，部分和Sn=∑i=1nXi對(duì)某些常數(shù)序列{an}，{bn}和某一具有非退化分布函數(shù)G的隨機(jī)變量y滿足(Sn-an)/bnD→Y,則在一定的條件下，對(duì)G的任意連續(xù)點(diǎn)x有l(wèi)imn→∞1/lognn∑i=

5、1i/iI{Si-ai/bi≤x}=G(x)a.s.成立.Fahrner和Stadtmfiller(1998),Cheng等(1998)，F(xiàn)ahrner(2000)和Stadtmiiller(2002)證明了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的最大值的幾乎處處極限定理．Berkes和Csáki(2001)得到獨(dú)立隨機(jī)變量的非線性泛函的幾乎處處極限定理.由他們的結(jié)論立即可得部分和幾乎處處極限定理的類似結(jié)果：部分最大值、極值順序統(tǒng)計(jì)量、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)、局部時(shí)