拋物方程時(shí)空凸解的常秩定理.pdf

1、解的凸性是偏微分方程研究中的一個(gè)重要領(lǐng)域。對于拋物方程的解,我們自然地想研究其時(shí)空凸性。建立解的常秩定理是偏微分方程中微觀凸性方法的關(guān)鍵。然而,已有的拋物方程的解的常秩定理僅僅只考慮了解的空間Hessian矩陣。本文針對拋物方程解的時(shí)空Hessian矩陣,利用強(qiáng)極值原理建立了歐氏空間中熱方程時(shí)空凸解的常秩定理,并將該結(jié)果推廣到黎曼流形和K(a)hler流形上,同時(shí)本文還給出了一般完全非線性拋物方程的時(shí)空凸解的常秩定理成立的結(jié)構(gòu)條件。進(jìn)一

2、步,本文討論了平均曲率流的時(shí)空第二基本形式的常秩性質(zhì)。本文的主要結(jié)果列舉如下:
　　 歐氏空間中時(shí)空凸解的常秩定理
　　 定理0.1.設(shè)Ω是(IR)n中的區(qū)域,u∈C3,1(Ω×[0,T))是熱方程ut=△u的時(shí)空凸解。如果(D2u)在點(diǎn)(x0,t0)∈Ω×(0,T)處達(dá)到極小秩,則(D2u)在Ω×(0,t0]上保持常秩。進(jìn)一步,記l(t)是t時(shí)刻(D2u)在Ω上的極小秩,那么對任意的0＜t1≤t2＜T有l(wèi)(t1)≤l(

3、t2)。
　　 定理0.2.設(shè)Ω是(IR)n中的一個(gè)區(qū)域,v∈C3,1(Ω×[0,T))是方程SVs+2△v+y·▽v-2v|▽v|2=0的時(shí)空凸解。如果(D2v)在點(diǎn)(y0,s0)∈Ω×(0,T)處達(dá)到極小秩,則(D2v)在Ω×(0,s0]上保持常秩。進(jìn)一步,記l(s)是s時(shí)刻(D2v)在Ω上的極小秩,那么對任意的0＜s1≤s2＜T有l(wèi)(s1)≤l(s2)。
　　 定理0.3.設(shè)Ω是(IR)n中的一個(gè)區(qū)域,F=F(A,

4、P,u,x,t)∈C2,1(Sn×(IR)n×(IR)×Ω×[0,T))滿足結(jié)構(gòu)條件:
　　 i)F(A,P,u,x,t)關(guān)于A橢圓;ii)F(A-1,p,u,x,t)對任意的P關(guān)于(A,u,x,t)局部凸;iii)對任意的常數(shù)C,ΓCF={(A,u,x,t):F(A,p,u,x,t)≤C}凸。又設(shè)u∈C3,1(Ω×[0,T))是方程vt=F(▽2u,▽u,u,z,t)的時(shí)空凸解,則對任意時(shí)刻t∈(0,T),(D2u)的秩在Ω上

5、為常數(shù).進(jìn)一步,記l(t)是t時(shí)刻D2u在Ω上的極小秩,則對任意的0＜t1≤t2＜T有l(wèi)(t1)≤l(t2)。
　　 黎曼流形上熱方程時(shí)空凸解的常秩定理
　　 定理0.4.設(shè)M是具有非負(fù)截面曲率的緊致n維黎曼流形,且滿足Ricci平行。又設(shè)u∈C3,1(M×[0,T))是熱方程ut=△u在M上的時(shí)空凸解。如果(D2u)在點(diǎn)(x0,t0)∈M×(0,T)處達(dá)到極小秩,則(D2u)在M×(0,t0]上保持常秩。進(jìn)一步,記l(

6、t)是t時(shí)刻(D2u)在M上的極小秩,那么對任意的0＜t1≤t2＜T有l(wèi)(t1)≤l(t2)。
　　 K(a)hler流形熱方程時(shí)空凸解的常秩定理
　　 定理0.5.設(shè)M是具有非負(fù)全純雙截面曲率的緊致復(fù)n維K(a)hler流形。又設(shè)u∈C3,1(M×[0,T))是熱方程ut=△u在M上的時(shí)空凸解。如果(D2u)在點(diǎn)(z0,t0)∈M×(0,T)處達(dá)到極小秩,則(D2u)在M×(0,t0]上保持常秩。進(jìn)一步,記l(t)是t

7、時(shí)刻(D2u)在M上的極小秩,那么對任意的0＜t1≤t2＜T有l(wèi)(t1)≤l(t2)。
　　 平均曲率流的時(shí)空第二基本形式的常秩定理
　　 定理0.6.設(shè)緊致超曲面Mt C(IR)+1是平均曲率流(a)X/(a)t=-H(→n)在[0,T)上的光滑解,且矩陣(h)=(hij Hi Hj Ht)
　　 在M×[0,T)上半正定,則在M×(0,T)上,(h)的秩為n或n+1。進(jìn)一步,若(h)在一點(diǎn)(x0,t0)∈M×