幾個(gè)非線性問題的算法研究.pdf

1、在這篇論文里，我們研究了幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的非線性問題的計(jì)算方法。文中所涉及到的問題分別是不動(dòng)點(diǎn)問題、分裂可行問題、變分不等式問題和最大單調(diào)算子零點(diǎn)包含問題。其中，分裂可行問題可以寫成一類特殊的變分不等式問題，變分不等式問題可以寫成一類零點(diǎn)包含問題，而上述三個(gè)問題又都可以歸結(jié)為求相應(yīng)算子的不動(dòng)點(diǎn)問題。 第一章介紹了本文所研究的幾個(gè)非線性問題，它們之間的關(guān)系以及文中要用到的一些記號(hào)。 在第二章里，我們研究了求算子不動(dòng)點(diǎn)問題的Kr

2、asnoselski—Mann(KM)迭代和廣義Krasnoselski—Mann迭代及其收斂性質(zhì)。實(shí)際上，求算子不動(dòng)點(diǎn)的問題應(yīng)用非常廣泛，很多領(lǐng)域所涉及的問題都可以歸結(jié)為這一問題的形式。已有的KM定理給出了當(dāng)算子非擴(kuò)張(nonexpansive)且不動(dòng)點(diǎn)存在時(shí)KM迭代的收斂性質(zhì)。我們?cè)谶@一章首先進(jìn)一步探討了算子是F-非擴(kuò)張(firmly nonexpansive)的情況下KM迭代的收斂結(jié)果，證明了此時(shí)迭代中的松弛因子由原來的區(qū)間[0，

3、1]可擴(kuò)展到[0，2]；然后我們給出了廣義KM迭代格式并建立了相應(yīng)的收斂性理論。同時(shí)，我們還討論了算子不存在不動(dòng)點(diǎn)時(shí)迭代點(diǎn)列的收斂情況。我們證明了，當(dāng)所給算子不存在不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，由KM迭代和廣義KM迭代格式所產(chǎn)生的點(diǎn)列是無界的。我們的廣義KM定理適用于幾種不同形式的廣義KM迭代格式。作為前述理論的說明和應(yīng)用，我們還將廣義KM迭代和定理應(yīng)用到凸可行問題和變分不等式問題的幾個(gè)求解方法中。 第三章里，我們研究了求解分裂可行問題的幾種投影方

4、法。所謂分裂可行問題，是求z∈C使得Ax∈Q，這里C和Q分別是R<'n>和R<'m>中的非空閉凸集。這類問題在信號(hào)處理及線性約束優(yōu)化問題的可行解等問題中有著重要應(yīng)用。Byrne在2002年提出了求解該問題的CQ算法，該算法需假定正交投影R<,C>和P<,Q>是易于求得的。但在許多情況下，精確求解正交投影相當(dāng)困難，甚至是根本不可能的?？紤]到這一點(diǎn)，我們基于Byrne的CQ算法和Mosco收斂，應(yīng)用上一章給出的廣義KM定理，給出了求解分裂可

5、行問題的帶擾動(dòng)的投影迭代格式，并通過進(jìn)一步考察該問題的性質(zhì)給出非精確迭代格式。與原有的CQ算法相比，我們的算法更為實(shí)用并易于實(shí)現(xiàn)。在這一章的最后，結(jié)合分裂可行問題的特點(diǎn)，我們提出了一種基于共軛梯度思想的方法來求解分裂可行問題，以期能夠提高收斂速度。 在第四章里，我們討論了一類廣義變分不等式，傳統(tǒng)定義中的變分不等式是這種廣義變分不等式的特例。我們這里的主要工作是，在弱協(xié)強(qiáng)制(weak co-coercivity)條件下證明了求解這

6、類變分不等式的幾種算法的收斂性。我們知道，協(xié)強(qiáng)制(co—coercivity)性質(zhì)出現(xiàn)在很多求解變分不等式問題的算法的收斂條件當(dāng)中，而楊慶之教授在2005年的兩篇文章中提出的弱協(xié)強(qiáng)制性條件在一般意義下弱于協(xié)強(qiáng)制性條件，故我們實(shí)際上是減弱了算法的收斂性條件。然后，我們指出，求解定義在R<'n>上的算子T的零點(diǎn)問題的一種F—B(forward—backward)分裂方法的收斂性條件中所要求的協(xié)強(qiáng)制性也可減弱為弱協(xié)強(qiáng)制性。最后，我們通過在算法

7、中引入Armijo不精確一維搜索進(jìn)一步改進(jìn)了前述求解變分不等式問題的算法。 最后在第五章里，我們考察了帶約束的最大單調(diào)算子零點(diǎn)包含問題的求解方法。我們首先在已有的無約束問題的逼近點(diǎn)算法(PPA)和F—B分裂方法的基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的投影方法。然后，我們利用P．Tseng改進(jìn)F-B分裂方法的思想，給出了一個(gè)新的算法并證明了算法的收斂性。此后，我們進(jìn)一步把算法中向一般閉凸集C∈R<'n>的正交投影改為向半空間C<,k>的正交投影，得到相