幾類非線性問題的正解與應(yīng)用.pdf

1、自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會科學(xué)的許多領(lǐng)域中(如物理學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等)都提出了大量的非線性問題.例如：由N部分不同密度組成的均勻截面的懸鏈線的振動可以轉(zhuǎn)化為多點邊值問題：彈性穩(wěn)定性理論的許多問題也可轉(zhuǎn)化為多點邊值問題來處理.在解決這些非線性問題的過程中.逐漸形成了現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中一個非常重要的分支-非線性泛函分析.它主要包括半序方法、拓?fù)涠确椒ê妥兎址椒ǖ葍?nèi)容.為當(dāng)今科技領(lǐng)域中層出不窮的非線性問題提供了富有成效的理論工具，尤其在處理應(yīng)用

2、學(xué)科中提出的各種非線性方程和偏微分方程問題中發(fā)揮著不可替代的作用.1912年L.E.J.Brouwer對有限維空間建立了拓?fù)涠鹊母拍?1934年J.Leray和J.Schauder將這一概念推廣到Banach空間的全連續(xù)場.后來，E.Rothe，M.A.Krasnoselskii，P.H.Rabinowitz，H.Amann，K.Deimling等對拓?fù)涠壤碚?錐理論及其應(yīng)用進行了深人的研究.國內(nèi)張恭慶教授、郭大鈞教授、陳文塬教授、孫經(jīng)

3、先教授等在非線性泛函分析的許多領(lǐng)域都取得了非常出色的成就，其中著名的郭氏定理、Guo-Krasnoselskii不動點定理、下降流不變集理論享譽世界，應(yīng)用廣泛，為人們所津津樂道.
　　 對微分方程來說，正解往往是人們注重研究的符合現(xiàn)實意義的一類解，人們常將研究微分方程正解的存在性問題轉(zhuǎn)化為研究積分算子在錐上的不動點的存在性問題.研究積分算子不動點的存在性常用的工具是非線性泛函分析的拓?fù)涠壤碚摵筒粍狱c指數(shù)理論，其中最常用的定理是：

4、Schauder不動點定理，Krasnosel'skii不動點定理，Leggett-Williams不動點定理和它的推廣形式--泛函不動點定理.
　　 盡管很多學(xué)者應(yīng)用上述定理對多點邊值問題正解的存在性進行研究，并取得了豐富的成果.但由于使用這些常見的不動點定理需要假設(shè)非線性項是連續(xù)的，且Green函數(shù)需滿足特定的條件要求，使得這些常用的定理適用范圍具有一定的局限性.因此，仍然存在許多未解決的具有挑戰(zhàn)性的問題.
　　 本

5、文共有六章.第一章到第五章，主要利用上下解方法、錐上的不動點指數(shù)理論以及錐拉伸與壓縮不動點定理分別討論了一類n階常微分方程組邊值問題、一類Hammerstein積分方程組、廣義Lidstone方程組邊值問題，半無窮區(qū)間上奇異Sturm-Liouville邊值問題、一類奇異分?jǐn)?shù)階邊值阿題以及一類四階p-Laplacian邊值問題正解的存在性、多解性、唯一性.
　　 在第一章中.我們研究如下一類Hammerstein積分方程組正解的

6、存在性其中k∈ C([0.1]×[0，1].R+).f.g，h∈C([0.1]×R+×R+×R+.R+).我們用非負(fù)凹函數(shù)刻畫非線性項f.g，h的耦合行為.并用Jensen不等式做先驗估計.在與相應(yīng)的線性算子第一特征值有關(guān)的條件下獲得了正解的存在性結(jié)果.需指出的是這里的非線性項f，g，h可以有不同的增長方式，用凹函數(shù)研究微分方程組的思想最初見文[1]，文[2，15]推廣了文[1]中的結(jié)果.本文所得結(jié)果進一步推廣了文[1，2，15]中相應(yīng)

7、的結(jié)果，作為運用，我們將所得結(jié)果應(yīng)用于一類高階常微分方程組邊值問題，
　　 在第二章中，我們研究如下一類廣義Lidstone方程組邊值問題正解的存在性這里m≥1，n≥1，f，g∈C([0，1]×Rm+n+，R+)(R+=[0，+∞))，a，b，c，d∈R+且ac+ad+bc>0.本章我們?nèi)匝赜玫谝徽碌南敕ǎ梅秦?fù)連續(xù)凹函數(shù)刻畫非線性項的耦合行為.與第一章不同的是，這里討論的方程組可以有不同的階數(shù)，并且非線性項含有偶數(shù)階導(dǎo)數(shù).為了

8、克服非線性項含有導(dǎo)數(shù)的困難，我們采用降階的方法將該問題轉(zhuǎn)化為與之等價的積分-積分方程組，通過討論這個輔助的方程組而獲得原問題正解的存在性.
　　 在第三章中，我們研究如下一類半無窮區(qū)間上奇異Sturm-Liouville邊值問題正解的存在性其中f∈C(R+×R+，R+)；h∈L(0，∞)允許在t=0奇異；p∈C(R+)∩C1(0，∞)且()以及()我們?nèi)栽谂c相應(yīng)的線性算子第一特征值有關(guān)的條件下獲得了正解的存在性結(jié)果.并且非線性項

9、既可以超線性增長也可以次線性增長.所得結(jié)果本質(zhì)推廣了文[38-42]的工作.最后，我們提供一些例子來說明所得結(jié)果的有效性.
　　 在第四章中.我們研究如下一類奇異分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性這里a∈(3.4]是一實數(shù).()是標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù).f∈C([0.1]×R+.R+).并且h∈C(0.1)∩ L(0.1)非負(fù)以及允許在t=0和(或)t=1奇異.本章我們利用線性算子對應(yīng)的第一特征值來考察該問

10、題正解的存在性.注意到.本章中的非線性項f既可以超線性增長又可以次線性增長.而[43]中的非線性項只考慮次線性增長的情況.本章當(dāng)中的第一個結(jié)果就是考慮非線性項超線性增長的情況.從而補充了[43]的工作.隨后.我們根據(jù)所得的第一個結(jié)果和[43]的結(jié)果又得到了兩個多正解的結(jié)果，并且所得的結(jié)果本質(zhì)地推廣和改進了[44]的相關(guān)結(jié)果.
　　 在第五章中，我們研究如下一類p-Laplacian邊值問題正解的存在性其中p>0以及f∈C([0，

11、1]×R+，R+).該問題的想法來源于[11，20].我們注意到，該問題是p=1時對應(yīng)的Lidstone問題的一個擾動，溝通這兩個問題的橋梁是Jensen不等式.這種方法在近期的文獻中沒有見到.
　　 在第六章中，我們首先運用Leggett-Williams不動點定理研究如下奇異的廣義Lidstone方程組邊值問題三個正解的存在性這里m，n≥1，a(t)，b(t)∈C((0，1)，R+)，a(t)，b(t)允許在t=0和(或)t

12、=1奇異；fi∈C([0，1]×Rm+n+，R+)；ai，bi，ci，di∈R+且ρi：= aici+aidi+bici>0，i=1，2.我們注意到這里所討論的方程組可以有不同的階數(shù)，并且奇異項a(t)和b(t)也可以不同.所得結(jié)果推廣了文[45]的工作.
　　 其次，我們利用Avery-Peterson不動點定理研究以下一類二階奇異的Sturm-Liouville積分邊值問題三個正解的存在性其中a.b.c.d≥0且ac+ad+

13、bc>0：h∈C((0.1).[0.+∞))允許在t=0和(或)t=1奇異以及().η(t)在[0.1]上為增函數(shù)并且在t∈[0.1)上右連續(xù).在t=1左連續(xù).以及()和()分別是u關(guān)于ζ和η的Riemann-Stieltjes積分.必須指出的是.多點邊值問題和積分邊值問題是Riemann-Stieltjes積分邊值問題的特例.這也說明了許多學(xué)者特別地關(guān)注Riemann-Stieltjes積分邊值問題.本章最后我們提供兩個例子來說明所得