橢圓邊值問題正交樣條配置法的收斂分析.pdf

1、橢圓方程廣泛存在于物理、化學(xué)等許多學(xué)科的實(shí)際問題中．常見的有Laplace方程△u(x<,1>，x<,2>)=0，(x<,1>，x<,2>)∈Ω，在物理學(xué)中用來描述勢(shì)能，如Ω上電荷密度不變時(shí)的電勢(shì)能，電流密度不變的磁勢(shì)能等等．還有Poisson方程△u(x<,1>，x<,2>)=f(x<,1>，x<,2>)(x<,1>，x<,2>)∈Ω．其中∫(x<,1>，x<,2>)∈ C<'O>(Ω)表示源項(xiàng)，如勢(shì)能中電荷密度．一般橢圓方程為L(zhǎng)u(

2、x<,1>，x<,2>)=f(x<,1>，x<,2>)， (x<,1>，x<,2>)∈Q為了使橢圓方程有定解，需要一個(gè)邊值條件，例如Dirichlet邊條件 U(x<,1>，x<,2>)=g(x<,1>，x<,2>)， (x<,1>，x<,2>)∈Ω，和Neumann邊條件求解橢圓方程的方法很多，如有限差分、有限元和配置法等．配置法是近二三十年發(fā)展起來的以滿足純插值約束條件的方式，尋求算子方程近似解的數(shù)值方法，通過分片多項(xiàng)式求近似解，使

3、之在某些特定的點(diǎn)即配置點(diǎn)上滿足微分方程及其邊界條件．配置法無需計(jì)算數(shù)值積分，而數(shù)值積分既要增加工作量，又會(huì)影響系數(shù)矩陣的精度，因此配置法較之有限元方法具有計(jì)算簡(jiǎn)便以及收斂精度高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛的應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理以及工程問題．其中，利用高斯數(shù)值積分公式的節(jié)點(diǎn)(Gauss點(diǎn))代替自然節(jié)點(diǎn)進(jìn)行配置的方法稱為正交樣條配置法(Osc方法)，較之普通配置法精度更高，收斂速度更快． 但是，以往對(duì)橢圓方程進(jìn)行的正交樣條配置法大多有一些局限性．多數(shù)只考

4、慮L的散度形式，并且只考慮L為自共軛算子的情況，不考慮L中的一階偏導(dǎo)數(shù)b<,1>u<,x1>和b<,2>u<,x2>也不考慮算子L中的混合偏導(dǎo)數(shù)α<,12>u<,x1,x2>和α<,21>u<,x2,x1>． 本文討論了單位區(qū)域上的橢圓方程非齊次Dirichlet邊值問題，其中算子L為非自共軛、非散度形式，在分析過程中考慮了一階偏導(dǎo)數(shù)u<,x>和混合偏導(dǎo)數(shù)u<,x1,x2>．為了簡(jiǎn)化計(jì)算，令α<,12>=α<,21>．在用分片雙