Karoubianness and Auslander-Reiten Theory.pdf

1、本文的主要由兩個相對獨立又有著內(nèi)在聯(lián)系的部分組成. 在第一部分中，我們給出了有界導(dǎo)出范疇的Krull-Schmidt性質(zhì)的一個初等的證明.這部分的討論主要集中在第三章.設(shè)A是一個artin代數(shù)，則有限生成模范疇上的有界導(dǎo)出范疇Db(mod-A)滿足Krull-Schmidt性質(zhì)，即：每個對象都可分解為有限個不可分解對象的直和，且不可分解對象的自同態(tài)環(huán)都是局部環(huán).這個結(jié)論早已為眾人熟知，但經(jīng)典的證明卻并不多見.有的證明方法需要借助

2、較龐大的知識體系，如K-理論[8]，有的證明需要借助同倫范疇的特性[11，12].本文中，我們借助三角范疇中的t-結(jié)構(gòu)這個工具，使得證明變得更初等，更簡短. 注意到一個加法范疇滿足Krull-Schmidt性質(zhì)，當(dāng)且僅當(dāng)這個加法范疇滿足冪等可裂性，并且加法范疇中每一個對象的自同態(tài)環(huán)都是半完全環(huán)[12，定理A.1].因此證明有界導(dǎo)出范疇的Krull-Schmidt性質(zhì)就歸結(jié)為證明它的冪等可裂性問題. 設(shè)C是一個加法范疇，C

3、中冪等態(tài)射e:X→X稱為可裂的，如果存在u:X→Y和v:Y→X，使得v。u=e，并且u。v=idY.若C中所有的冪等態(tài)射都可裂，則稱C是冪等可裂的.我們的一個重要觀察就是，在三角范疇中，冪等態(tài)射的可裂性對擴張封閉. 在第二部分中，我們討論了投射模上的同倫范疇中Auslander-Reiten三角的存在性，并給出了Auslander-Reiten公式.這一部分的討論主要集中在第四章和第五章. 對幾乎可裂序列的進一步研究引發(fā)

4、了更多新的概念和結(jié)論，人們把這些統(tǒng)稱為Auslander-Reiten理論.如今，該理論已推廣到任意環(huán)上的模范疇，并已成為代數(shù)表示論中一個強有力的研究工具.很自然地，我們希望在三角范疇中發(fā)展一套Auslander-Reiten理論.其中，Auslander-Reiten公式和Auslander-Reiten三角的存在性定理為Auslander-Reiten理論的中心部分. Happel最先開始研究三角范疇中的Auslander-

5、Reiten理論.他在1987年給出了三角范疇中Auslander-Reiten三角的定義[18，19]. 定義對于一個三角范疇中的正合三角(exacttriangle)→αY→βZ→γ∑X，若α為左幾乎可裂態(tài)射，β為右?guī)缀蹩闪褢B(tài)射，則稱此正合三角為Auslander-Reiten三角. 他指出了有界導(dǎo)出范疇中Auslander-Reiten三角的存在性：若一個artin代數(shù)∧的整體維數(shù)有限，則對于Db(∧-mod)中的

6、任何一個不可分解對象Z，存在Auslander-Reiten三角X→Y→Z→X[1]，其中A-mod為有限表示模范疇. Krause在2000年用Brown表示定理證明了所有的緊生成的三角范疇中都存在Auslander-Reiten三角.這一結(jié)果把Auslander-Reiten三角的研究提升到無界復(fù)形中.但是具體描述這些Auslander-Reiten三角的始端和末端的對應(yīng)關(guān)系是很困難的. Krause和作者在[29]

7、中討論了一類具體的緊生成三角范疇，即由各分支均為內(nèi)射右A-模的復(fù)形所構(gòu)成的同倫范疇K(Aop-Inj).我們建立了該范疇中的Auslander-Reiten公式，從而給出了該范疇中的Auslander-Reiten三角兩端的復(fù)形之間準(zhǔn)確的對應(yīng)關(guān)系.并且，該公式包含了模范疇中經(jīng)典的Auslander-Reiten公式作為其特例；模范疇中所有已知的幾乎可裂序列都可以由K(Aop-Inj)中的Auslander-Reiten三角推導(dǎo)得出.

8、 Neeman在07年剛做的工作中，研究了另一類同倫范疇-由各分支均為投射左A-模的復(fù)形所構(gòu)成的同倫范疇K(A-Proj).他詳細刻劃了K(A-Proj)中所有的緊對象：一個復(fù)形為K(A-Proj)中的緊對象當(dāng)且僅當(dāng)它同構(gòu)于形如X的復(fù)形，使得X為左有界的有限生成投射模復(fù)形，且X﹡=Horn∧(X，∧)的上同凋群只有有限項非零.他還指出當(dāng)∧為右凝聚環(huán)時，三角范疇K(∧-Proj)是緊生成的[34].這啟發(fā)了我們研究K(∧-Proj)上

9、的Auslander-Reiten三角. 設(shè)κ為一個完備的局部的交換noether環(huán)，A是κ上的noether代數(shù).則∧是右凝聚環(huán)，因此K(∧-Proj)是緊生成的.設(shè)m為κ的唯一的極大理想，E是κ-模κ/m的內(nèi)射包，則E是κ-模范疇中的內(nèi)射上生成子.定義函子D=Homκ(-，E)：Modκ→Modk.該函子誘導(dǎo)了人一模上的函子D：∧-Mod→Aop.Mod，且D限制在artin模做成的子范疇上有一個對偶D:AArt→Aop-N

10、oeth，其中Aop-Noeth表示由右noether模構(gòu)成的滿子范疇.注意到對∧的假設(shè)條件保證了noether∧-模即為有限表示∧-模. 我們建立了K(∧-Proj)上的Auslander-Reiten公式.定理5.1.1設(shè)Z和Y為任意兩個投射∧-模復(fù)形，且Z為K(∧-Proj)中的緊對象，則有自然同構(gòu)DHomK(∧-proj)(Z，Y)≌HomK(A-Proj)(Y,pDZ﹡).其中P為投射分解函子. 需要強調(diào)的是，

11、K(∧-Proj)中的Auslander-Reiten公式從形式上看與K(∧oP-Inj)中的Auslander-Reiten公式是完美的對偶，但推導(dǎo)過程卻無法由K(∧op-Inj)中的情形通過對偶直接得到.這是因為函子D把內(nèi)射∧op-模映射為平坦∧-模，而非投射∧-模.Neeman在[34]中還考察了同倫范疇K(∧-Flat)，證明了K(∧-Proj)是K(∧-Flat)的Bousfield子范疇，即嵌入函子K(∧-Proj)→K(∧

12、-Flat)存在右伴隨J﹡.這個伴隨函子在Auslander-Reiten公式的推導(dǎo)中起到了很關(guān)鍵的作用. 進一步考察，我們發(fā)現(xiàn)了函子J﹡與我們所熟悉的投射分解函子P有緊密的聯(lián)系.Neeman在[34]中沒有直接給出J﹡的具體描述，而是具體刻劃了K(∧-Proj)在K(∧-Flat)中的右垂直子范疇.利用這一刻劃，我們構(gòu)造了三角函子之間的自然態(tài)射：設(shè)r為兩個三角函子的復(fù)合映射則存在三角函子之間的自然態(tài)射ζ：r-j﹡.注意到r(X

13、)=pX. 我們的一個重要觀察是，ζ限制在K(∧-Flat)的某個子范疇上時為自然同構(gòu).命題4.2.3設(shè)X為右有界的平坦模復(fù)形.則ζX為同構(gòu). 這一命題使得我們在定理5.1.1的公式中最終用pDZ﹡取代了j﹡(DZ﹡)的形式. 設(shè)丁是一個緊生成的κ-線性三角范疇.則對任意的緊對象X，函子DHomT(X，-)把T中上積映射為Abel群范疇中的積，則由Brown表示定理可知，在K(Inj∧)中存在對象tX使得DHom

14、T(X，-)≌HomT(-，tX).Krause在2000年已經(jīng)用此同構(gòu)證明了緊生成三角范疇上Auslander-Reiten三角的存在性.定理(Krause，2000)設(shè)T為緊生成的三角范疇.Z為丁中的緊對象，其自同態(tài)環(huán)T=EndT(Z)為局部環(huán).記μ：Г/radГ→I為Г-模范疇中的內(nèi)射包.則存在T中的Auslander-Reiten三角tZ[-1]→αY→βZ→γtz，其中tZ為T中對象，滿足同構(gòu)γ是典范映射在上述同構(gòu)下的像.Ho

15、mr(HomT(Z，-)，I)≌UomT(-，tZ)，HomT(Z，Z)→πГ/radГ→μI結(jié)合定理5.1.1中的同構(gòu)與Krause的存在性定理，又注意到Db(mod-A)的Krull-Schmidt性質(zhì)保證了K(∧-Proj)中的緊對象不可分解當(dāng)且僅當(dāng)其自同態(tài)環(huán)為局部環(huán)，立刻可知命題5.2.2設(shè)Z為K(∧-Proj)中的不可分解的緊對象，則存在Auslander-Reiten三角pDZ﹡[-1]→Y→Z→pDZ﹡. 最后，我

16、們指出模范疇中的所有已知的幾乎可裂序列都可由K(∧-Proj)中的某個Auslander-Reiten三角在函子Cok1作用下得到.定理5.2.3設(shè)M為不可分解非內(nèi)射artin∧-模，則存在K(∧-Proj)中的Auslander-Reiten三角pM[-1]→αY→β(pDM)﹡→γpM，使得函子Cok1作用此三角上可得模范疇中幾乎可裂序列0→M→α1Cok1(Y)→β1TrDM→0. 在這兩部分看似獨立的結(jié)論的證明過程中都使