某些非線性偏微分方程組解的空間結(jié)構(gòu)研究.pdf

1、一直以來，描述多個(gè)物種競爭以及多組分Bose-Einstein凝聚態(tài)之間相互作用的非線性偏微分方程組中，解的空間結(jié)構(gòu)——共存或消亡，都是微分方程界研究的熱點(diǎn)問題.特別是最近幾年,人們對強(qiáng)競爭導(dǎo)致的解的空間分離現(xiàn)象表現(xiàn)出極大的興趣.在競爭參數(shù)趨于正無窮的奇異極限問題中，解的支集相互分離，因而極限問題是一個(gè)自由邊界問題.許多數(shù)學(xué)工作者，例如Caffarelli，林芳華，Dancer，和S.Terracini等對此類問題作了大量的研究，包括系

2、統(tǒng)解對競爭參數(shù)的一致有界估計(jì)，奇異極限的正則性，產(chǎn)生自由邊界的正則性以及極限系統(tǒng)解的唯一性.對它們的研究涉及偏微分方程、幾何測度論、泛函分析等多個(gè)數(shù)學(xué)分支.
　　本文圍繞強(qiáng)競爭參數(shù)的變化，對兩類不同背景的非線性偏微分方程組解的空間分離行為進(jìn)行系統(tǒng)的研究.具體內(nèi)容由以下六章構(gòu)成.
　　第一章，簡要地介紹與本論文研究問題有關(guān)的背景知識及其發(fā)展概況.
　　第二章，我們研究了一個(gè)非自治的兩種群拋物系統(tǒng)解的空間行為.我們證明了當(dāng)

3、競爭參數(shù)趨于正無窮時(shí)，系統(tǒng)的解在H1意義下強(qiáng)收斂到一個(gè)標(biāo)量問題解的正部和負(fù)部.并進(jìn)一步利用Kato不等式以及blow-up分析方法證明了系統(tǒng)解在C（(Q)T）中的一致收斂性.
　　第三章，我們研究非均質(zhì)環(huán)境中相互競爭種群的空間行為.這里我們考慮兩種群的反應(yīng)擴(kuò)散對流方程組.我們首先利用解的先驗(yàn)估計(jì),證明了競爭參數(shù)趨于正無窮時(shí)，系統(tǒng)的解在H1中弱收斂到某個(gè)標(biāo)量問題解的正部和負(fù)部.進(jìn)而，沿用Conti，Terracini，和Verzin

4、i等的blow-up方法，我們給出了系統(tǒng)解關(guān)于競爭參數(shù)的一致H(o)lder估計(jì).
　　第四章，我們研究了一個(gè)強(qiáng)耦合的交錯(cuò)擴(kuò)散橢圓系統(tǒng).通過先驗(yàn)估計(jì)證明了該系統(tǒng)在強(qiáng)競爭下解的支集相互分離并給出了奇異極限滿足的微分不等式系統(tǒng).我們還進(jìn)一步證明了奇異極限問題的解是唯一的，并且在相同邊界條件下，它是某個(gè)能量泛函的極小.
　　第五章，我們考慮了一個(gè)強(qiáng)耦合的Gross-Pitaevskii復(fù)方程組.通過討論組間與組內(nèi)競爭系數(shù)之間的關(guān)系

5、，建立了系統(tǒng)共存解的存在性.并利用能量方法證明了復(fù)值解的空間分離現(xiàn)象.對于兩組分的情形，我們還證明了在一定條件下，奇異極限問題中解也是共存的.
　　第六章，我們考慮了一個(gè)分?jǐn)?shù)次的非線性Schr(o)dinger方程組.主要討論了競爭參數(shù)趨向正無窮時(shí)，奇異極限結(jié)點(diǎn)集的相關(guān)性質(zhì).在Terracini，Verzini和Zilio證明的關(guān)于奇異極限最優(yōu)正則性結(jié)果基礎(chǔ)上，我們證明了結(jié)點(diǎn)集除掉一個(gè)閉的Hausdorff維數(shù)為n-2的閉的奇點(diǎn)集