泛函正倒向隨機微分方程理論和G-期望下的最優(yōu)化.pdf

1、倒向隨機微分方程和正倒向隨機微分方程已經(jīng)廣泛應用到很多領域，特別是金融數(shù)學和隨機控制理論（見[22]，[27]，[71]，[111]，[112]和相關的文章）。
　　狀態(tài)依賴完全耦合的正倒向隨機微分方程如下:X(t)=x+∫t0b(X(s),Y(s),Z(s))ds+∫t0σ(X(s),Y(s),Z(s))dW(s),(1)Y(t)=g(X(T））-∫Tth(X(s)，Y(s)，Z(s))ds-∫TtZ(s)dW(s)，t∈[0，

2、T].現(xiàn)在研究正倒向隨機微分方程(1)主要有三種方法，i.e.，壓縮映射的方法（見[2]和[95]），四步法（見[68]）和連續(xù)性方法（見[52]，[88]和[113]）.在[70]，Maetal.研究了一般的馬爾科夫的正倒向隨機微分方程.他們歸結(jié)現(xiàn)有的方法為一致性方法，且克服了正倒向隨機微分方程長期存在的問題。
　　擬線性拋物偏微分方程聯(lián)系到馬爾科夫正倒向隨機微分方程（見[86]，[92]和[95]），推廣了Feynman-Ka

3、c公式.近來Dupire在[27]中引入一種新的泛函導數(shù)且被Cont和Fourni[16]，[17]，[18]進一步發(fā)展.在Dupire的工作下，Peng和Wang[96]得到了被稱為泛函的Feynman-Kac公式的路徑依賴的偏微分方程(P-PDE)并聯(lián)系到一類倒向隨機微分方程.進一步，在一定條件下，Peng[84]證明了路徑依賴的二階偏微分方程存在唯一的粘性解.Ekren，Touzi，和Zhang([36]，[34]，[35])給出

4、了全非線性的路徑依賴的偏微分方程粘性解新的定義并得到了粘性解唯一性。
　　在第一章第一節(jié)，考慮下面泛函正倒向隨機微分方程:X(t)=x+∫t0b(Xs，Y(s)，Z(s))ds+∫t0σ(Xs，Y(s)，Z(s))dW(s)，(2)Y(t)=g(X(T))-∫Tth(Xs,Y(s),Z(s))ds-∫TtZ(s)dW(s),t∈[0，T]，其中Xs:=X（t)0≤t≤s。
　　Hu和Peng在[52]中首次提出連續(xù)性方法，其

5、中主要技術是提出單調(diào)性條件.但是[52]和[97]給出的單調(diào)性條件不能用于方程(2).這里的主要困難是方程(2)依賴于解X(t)0≤t≤T的路徑.在這一節(jié)，采用連續(xù)性方法且給出一種新的Lipschitz和單調(diào)性條件.這些新的條件涉及X(t)0≤t≤T的路徑.因此，稱之為積分型Lipschitz和單調(diào)性條件.參看正文假設1.1和1.2.特別的，給出了兩個例子說明這兩個假設并不特殊.在積分Lipschitz和單調(diào)性條件下，連續(xù)性方法給出方程

6、(2)解的存在唯一性。
　　另外給出了方程(2)和下面的路徑依賴經(jīng)典解的部分關系:Dtu(γt)+Lu(γt)-h(γt,u(γt),v(γt))=0,v(γt)=Dxu(γt)(σ)(γt，u(γt)，v(γt))，u（γt）=g(γ1T，γ2(T))，γ1T∈Λd，γ2(T)∈Rn，其中Lu=(Lu1，…，Lun)，L=1/2n+dΣi,j=1((σ)(σ)T)i,j(γt，u，v)Dxixj+n+dΣi=1(b)i(γt,u

7、，v)Dxi.
　　假設路徑依賴微分方程u具有光滑和正則的性質(zhì)，通過方程(2)解的存在唯一性可以說明這個路徑依賴的偏微分方程至多有一個解。
　　Bismut[3]最先提出線性倒向隨機微分方程.非線性倒向隨機微分方程解的存在唯一性由Pardoux和Peng[91]得到.Peng[86]和Pardoux，Peng[92]給出了擬線性拋物偏微分方程和倒向隨機微分方程的對應關系，推廣了經(jīng)典的Feynman-Kac公式.Peng在[8

8、9]中指出非馬爾科夫倒向隨機微分方程對應的偏微分方程是一個開問題。
　　在第一章第二節(jié)，考慮非馬爾科夫完全耦合的正倒向隨機微分方程和路徑依賴偏微分方程的對應關系.更精確來說，非馬爾科夫正倒向系統(tǒng)如下:Xγt,x(s)=x+∫stb(Wγts，Xγt,x(s),Yγt,x(s),Zγt,x(s))ds(3)+∫stσ(Wγts,Xγt,x(s),Yγt'x(s),Zγt'x(s))dW(s),Yγt，x(s)=g(WγtT，Xγs(

9、T))-∫Tsh(Wγts，Xγt,x(s)，Yγt,x(s)，Zγt，x(s))ds(4)-∫TsZγt,x(s)dW(s)，s∈[t，T]。
　　在泛函導數(shù)的框架下，首先給出路徑依賴的偏微分方程.在一般性假設下，建立了路徑依賴方程的正則性估計.可以說明，方程(4)的解聯(lián)系到下面的路徑依賴的偏微分方程的解Dtu(γt，x)+Lu(γt，x)+tr[▽xDzu(γt，x)σ(γt，x，u(γt，x)，v（γt，x））]+1/2tr

10、[Dzzu(γt，x)]=h（γt，x,u（γt，x），v(γt，x)），v（γt，x）=▽xu（γt，x）σ（γt，x，u（γt，x），v(γt，x))+Dzu（γt，x），u（γT,x）=g（γT，x），γT∈Λn，其中Lu=（Lu1，…，Lun），L=1/2tr[(σσT）(γt，x，u，v)▽xx]+b（γt,x，u，v）▽x。
　　在實際問題中，系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常對歷史有依賴性。
　　在第一章第三節(jié)，考慮由下面的泛

11、函依賴的隨機微分方程驅(qū)動的隨機控制問題:Xγt,u(s)=γt(t)+∫stb(Xγt,ur，u(r))dr+∫stσ(Xγt,ur,u(r))dW(r).消費函數(shù)為J(γt;u(·))=E[∫TtL(Xγt,us，u(s))ds+Ψ(Xγt，uT)].初始值為γt∈Λ，最優(yōu)控制問題是關于控制u(·)∈u[t，T](見定義1.21)對J取最小.定義值函數(shù)V:Λ→R為V(γt)=infU(·)∈u[t,T]J(γt;u(·)).得到下面路

12、徑依賴的偏微分方程DtV(γt)+infu∈UG(γt，u，DxV,DxxV)=0,γt∈Λ,V（γT）=Ψ（γT），γT∈Λ，其中G（γt，u，p，P）=1/2(Pσ(γt,u)σ(γt,u)T)++L（γt，u），(V)(γt，u，p，P)∈Λ×U×Rn×Sn.且證明了值函數(shù)是偏微分方程的粘性解.另外，給出了光滑情形的驗證定理。
　　動態(tài)規(guī)劃原理和對應的HJB方程是解決最優(yōu)控制問題的重要方法（見[88]，[4

13、3]，[110]，[114]和[87]）.不同于延遲問題（見[23]，[25]，[64]和[65]）和泛函隨機系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃原理（見[72]），這里給出來了一種新的泛函伊藤公式和對應的HJB方程。
　　自1983年來，Crandall和Lions[21]發(fā)展了粘性解.有限維的問題得到的很好的解決，詳見[20].但在實際應用中，需要系統(tǒng)依賴歷史，則相關的最優(yōu)控制問題變成了無窮維。
　　Mohammed[64]和[65]研究了泛

14、函依賴的隨機微分方程.Changetal.[23]研究了帶記憶的隨機最優(yōu)控制問題.但在應用Ekeland變分原理時產(chǎn)生了問題.詳見[57]，[60]。
　　近來，在一定假設下，Peng[84]證明了全非線性路徑依賴偏微分方程粘性解存在唯一性.Ekren，Touzi，和Zhang([36]，[39]，[40])抽象的考慮全非線性偏微分方程，在粘性解的定義中采用復雜的super-和sub-集合，特別的他們的定義涉及到非線性期望.在Du

15、pire's泛函伊藤公式下，Tang和Zhang[109]研究了遞歸效用的最優(yōu)控制問題。
　　在第一章第四節(jié):給出連續(xù)空間上的弱Fréchet導數(shù).對比Dupire導數(shù)的定義，嘗試給出Fréchet導數(shù)在一個較小的空間上擾動.沿著這個想法，選擇了W1,2空間作為擾動空間，給出了一種新的弱Fréchet導數(shù)。
　　在第一章第五節(jié):考慮弱Fréchet導數(shù)下的隨機最優(yōu)控制問題.記連續(xù)空間為C.這種新的導數(shù)不需要考慮右連左極函數(shù)空

16、間，其中Dupire's導數(shù)需要考慮.在這種新的框架下，給出了半鞅的伊藤公式.然后考慮了帶記憶的隨機微分方程相關的隨機控制問題.且把粘性解的定義限制到W1,2.在這種新的粘性解的定義下，驗證了值函數(shù)是對應的HJB方程唯一的粘性解。
　　金融數(shù)學中，需要計算違約概率.在線性概率假設下，應用正態(tài)分布描述股票收益率，可以很簡單的計算違約概率.一般情況下，市場是不確定的.
　　G-期望由Peng最近幾年提出，在一定假設下等價于一族概

17、率（見[30]）.在G-期望理論中，引入了G-正態(tài)分布和G-布朗運動和相關的伊藤計算（見[78]，[80]，[81]）.在馬爾科夫情形，G-期望對應全非線性偏微分方程，可以應用到經(jīng)濟和金融等方面（見[90]）.
　　在第二章第一節(jié)，考慮了G-熱方程的數(shù)值性質(zhì).下面的方程用于計算非線性概率([78]):(e)tu-1/2((σ)2(D2xxu)+-(σ)2(D2xxu)-）=0，u(0，x)=ψ(x)，x∈R,(5)
　　其中

18、ψ(x）=1{x＜0}，x∈R.且u(t，x):=(E)[ψ(x+√tX）]，(t，x)∈[0，∞)×Rd，是上面方程的粘性解，其中(E)是次線性期望.
　　沿著[90]，[93]，[100]的工作，證明了全隱格式收斂到G-熱方程的粘性解.
　　在相同的最大波動率下，通過下面的方程比較非線性概率u(1，0)和線性概率(u)(1，0):(e)tu-1/2((D2xxu）+-1/4（D2xxu）-）=0，u(0,x)=Ix≤0,

19、x∈[-10,10],(6)u(t，-10)=1,u(t,10)=0,t∈[0,1];和(e)t(u)-1/2（（D2xx(u)）+-（D2xx(u)）-）=0，(u)(0,x)=Ix≤0,x∈[-10,10],(7)(u)(t,-10)=1，(u)(t，10)=0,t∈[0,1].通過計算，有(E)[IX≤0]=u(1,0)=0.6680,P(X≤0)=(u)(1,0)=0.5010.
　　Pardoux和Peng[91]首次提

20、出非線性倒向隨機微分方程.獨立的，Duffie和Epstein[28]提出了隨機遞歸效應聯(lián)系的倒向隨機微分方程.倒向隨機微分方程是一種遞歸效應的形式（見[38]）.
　　自此，經(jīng)典的最優(yōu)控制問題推廣到了”隨機遞歸效應問題”，消費函數(shù)通過倒向方程解定義.Peng[87]得到了對應的HJB方程并證明了值函數(shù)是HJB方程的粘性解.在[88]，Peng推廣了以前的結(jié)果引入了后向半群，這樣可以更加直接的呈現(xiàn)動態(tài)規(guī)劃原理.Wu和Yu[110]

21、采用后向半群的方法研究了反射倒向隨機微分方程的隨機控制問題.Buckdah-n和Li在[6]中研究了相關的隨機博弈問題.其中Buckdahnetal.[7]得到了隨機遞歸效應問題存在性的結(jié)果.
　　考慮到度量風險和金融中的不確定性問題，Peng[78]引入了次線性期望，推廣了線性概率.Peng研究了全非線性期望，稱為G-期望(E)[·]（見[82]和相關的結(jié)果）和條件期望(E)t[·]在范數(shù)(E)[|·|p]1/p下的完備化.在G

22、-期望框架下（簡記G-框架）一種新的布朗運動記為G-布朗運動.給出了G-布朗運動相關的計算.通過經(jīng)典的方法可以證明由G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程解的存在唯一性.但是通過G-布朗運動驅(qū)動的倒向隨機微分方程解的問題是一個挑戰(zhàn).近來G-期望理論和相關應用參看[76，77，83，106，73，32，33，94，102，103].
　　另外有其它一些框架研究非線性概率的問題.Denis和Martini[31]給出了一種擬線性隨機分析，但是

23、得不到條件期望.這個問題進一步在Denisetal.[30]和Soneretal.[107]中研究.其中Soneretal.[108]得到了一類倒向隨機微分方程解的深入的結(jié)果，稱為2BSDE.不同的風險控制問題（博弈）見[72，75，98，67]和金融的應用見[69，74].
　　在第二章第二節(jié)，考慮G-期望下的隨機遞歸效應問題.
　　近來Huet.al研究了G-驅(qū)動的倒向隨機微分方程見[50]和[49]:Yt=ξ+fTtf

24、(s,Ys,Zs)ds+∫Tt9(s,Ta，Zs)d　　這里考慮G-布朗運動驅(qū)動的倒向隨機微分方程對應的隨機控制問題.即，由G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程如下dXt,x,u=b(s，Xt,x,us，us

25、)ds+hij(s，Xt,x,us，us)ds+σ(s，Xt,x,us,us)dBs，Xt,x,ut=x目標泛函為Yt,x,ut:-dYt，x,us=f(s，Xt，x,us，Yt，x,us，Zt，x,us，us)ds+gij(s，Xt，x,us，Yt，x,us，Zt,x,us，us)ds-Zt,x，usdBs-dKt，x,us，Yt,x,u=Φ（Xt,x,uT），s∈[t,T].
　　定義隨機最優(yōu)控制問

26、題的值函數(shù)為:V(t，x)=esssupu(·)∈u(t,T)Yt,x,ut，控制集是G-框架下的.
　　主要結(jié)果是值函數(shù)V是確定的且是下面的方程的粘性解(e)tV(t，x)+supu∈UH(t，x，V,(e)xV,(e)2xxV,u)=0，V(T,x)=Φ(x)，x∈Rn，其中H(t，x，v，p，A，u)=G（F（t，x，v，p，A，u））++f（t，x，v，σ(x，u)p，u)，F(xiàn)ij(t，x,v,p,

27、A,u)=+2+2gij(t,x,v,σ(x,u)p，u),（t,x,v，p，A，u）∈[0，T]×Rn×R×Rd×Sn×U，且σi是σ的第i列.
　　Zhang[115]考慮了類似的問題.正倒向方程[115]比較簡單:正向方程是時齊次的，倒向方程不含Z和K.
　　過去的二十年中，倒向隨機微分方程廣泛應用于金融，隨機控制等其他領域.不同于連續(xù)時間的離散，

28、Cohen和Elliott[13]考慮了有限時間有限狀態(tài)上的倒向隨機微分方程.非連續(xù)情形的逼近見[8，5，66]，給出了一般的結(jié)果如比較定理詳見[11，12，13，14，15，19].
　　在第三章，考慮這種有限時間有限狀態(tài)下的Girsanov變換.隨機計算中，Dóleans-Dade定義半鞅指數(shù)Y為下面的微分方程的解dYt=YtdXt初始條件為Y0=1對應的解為Yt=exp(Xt-X0-1/2[X]t),t≥0.
　　F(

29、o)llmer給出下面Dóleans-Dade在[42]隨機指數(shù)的離散情形:如果(P)是等價于P的概率測度，則鞅Zt:=E[d(P)*d(P)Ft]可以寫成Zt=∏ts=1(1+Λs-Λs-1)其中Λ是一個P-鞅滿足Λ0和Λt+1-Λt＞-1P-a.s.
　　本節(jié)推廣F(o)llmer的結(jié)果，給定下面的線性倒向隨機微分方程[13]:Yt=YT+T-1Σu=tZ*uau-T-1Σu=tZ*uMu+1.(8)為了得到上面的方程的顯式解

30、，給出推廣的Girsanov變換.考慮一步差分方程Yt+1-Yt=Z*tMt+1-Z*tat(9)給定概率空間（Ω,FT，{Ft}0≤t≤T，P）其中a是適應過程.定義測度Q為dQ/dP=LT,LT=∏T-1s=0(1+θsMs+1),L0=1，θs=∑+s+1as，m=2;dQ/dP=LT，LT=∏T-1s=0（1+βs+1），L0=1，βs+1I{Xs+1=ei}=disI{Xs+1=ei}/Xs+1=ei|Fs)，m＞2.可以證明