求解一類非線性拋物型方程的局部一維化方法.pdf

1、偏微分方程數(shù)值解的理論和方法是計(jì)算數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中非常具有挑戰(zhàn)性的課題，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的日益發(fā)展，通過(guò)數(shù)值計(jì)算求解實(shí)際物理過(guò)程中的數(shù)學(xué)模型，越來(lái)越成為國(guó)內(nèi)外科研發(fā)展的前沿。而拋物型方程作為一類重要的偏微分方程，其理論研究和解法近年來(lái)逐漸趨于成熟，這使得其在各大學(xué)科領(lǐng)域的研究和應(yīng)用更為廣泛。目前求解此類方程，常采用有限差分法進(jìn)行離散，由于其簡(jiǎn)單直觀、易于操作等優(yōu)點(diǎn)，在眾多方法中占有十分關(guān)鍵的地位。其中，顯格式計(jì)算方便且容易實(shí)現(xiàn)，但精度低且不

2、能保證穩(wěn)定性;隱格式雖與顯格式相比穩(wěn)定性更好，但在實(shí)際數(shù)值模擬過(guò)程中，往往需要計(jì)算高維或非線性方程，其在處理高維問(wèn)題時(shí)導(dǎo)致計(jì)算量較大。
　　本文主要考慮如下的非線性拋物型方程（組）:(6)u/(6t)=▽(a（x,y,z，t，u)▽u)+f(x,y,z,t，u)，x,y，z∈Ωt＞0
　　對(duì)于此方程（組）的初邊值問(wèn)題，在多數(shù)情況下解決的是a≠a(u)的情形，即a與u無(wú)關(guān)，但在本文主要討論a=a(u）的情形，即a與u相關(guān)。本文

3、主要采用由Dyakonov和Yanenko提出的局部一維化方法（簡(jiǎn)稱LOD），此方法主要用于求解高維方程，但由于非線性問(wèn)題的固有特性，非線性項(xiàng)難以處理且其過(guò)渡層的值是難以確定的，使得求解過(guò)程困難，即使給出一些簡(jiǎn)化方法，計(jì)算精度也會(huì)受到影響。針對(duì)上述的一系列問(wèn)題，本文在已有的LOD方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改造，提出了對(duì)于非線性項(xiàng)a(u）的兩種處理方法，相比以往文獻(xiàn)中所給的方法，本文所構(gòu)造出的差分格式具有計(jì)算量較少，誤差易于掌握，程序不難實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)

4、。
　　文章的主要內(nèi)容安排如下:
　　第一部分，介紹非線性拋物型方程的研究背景及意義，以及現(xiàn)有的求解此類方程的理論和方法。第二部分，介紹一些關(guān)于幾種差分格式的相關(guān)內(nèi)容。第三部分，介紹局部一維化格式，給出了其離散過(guò)程，并針對(duì)線性拋物型方程進(jìn)行了截?cái)嗾`差與穩(wěn)定性分析，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果也表明了方法的有效性。第四部分，介紹針對(duì)非線性拋物型方程的非線性項(xiàng)a(u）的兩種處理方法，此部分是對(duì)上一部分的結(jié)果做了進(jìn)一步的改進(jìn)，并給出兩組數(shù)值實(shí)驗(yàn)