最簡(jiǎn)規(guī)范形及機(jī)電耦合非線性系統(tǒng)的分岔、混沌研究.pdf

1、規(guī)范形理論是化簡(jiǎn)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的重要手段，對(duì)于研究分岔和混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問題具有深遠(yuǎn)的影響。最簡(jiǎn)規(guī)范形是在傳統(tǒng)規(guī)范形理論和非線性變換理論的基礎(chǔ)上，最大程度地化簡(jiǎn)微分方程所得到的一種規(guī)范形。最簡(jiǎn)規(guī)范形的研究與實(shí)際應(yīng)用正朝著高維的方向發(fā)展，其求解過程非常復(fù)雜而繁瑣。但是，非線性動(dòng)力系統(tǒng)經(jīng)最簡(jiǎn)規(guī)范形理論加以簡(jiǎn)化后，可以簡(jiǎn)捷地獲取其平衡點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)特性。針對(duì)最簡(jiǎn)規(guī)范形和機(jī)電耦合非線性動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，論文的研究?jī)?nèi)容及取得的創(chuàng)新性成果有以下

2、幾個(gè)方面 （1）利用共軛算子法，研究了高維Hopf分岔和退化Hopf分岔最簡(jiǎn)規(guī)范形的系數(shù)。引進(jìn)特殊的非線性變換和內(nèi)積，進(jìn)一步簡(jiǎn)化了中心流形上的方程。獲得了幾個(gè)關(guān)于Hopf分岔和退化Hopf分岔的最簡(jiǎn)規(guī)范形系數(shù)與傳統(tǒng)規(guī)范形系數(shù)之間具體關(guān)系的定理。借助Mathematica語言，編制了計(jì)算高維Hopf分岔和退化Hopf分岔最簡(jiǎn)規(guī)范形系數(shù)的程序。通過該程序，只需輸入原動(dòng)力系統(tǒng)方程，可得到系統(tǒng)具體的最簡(jiǎn)規(guī)范形。最后利用編制的程序分別計(jì)算

3、了一個(gè)6維退化Hopf分岔系統(tǒng)的最簡(jiǎn)規(guī)范形和一個(gè)5維Hopf分岔系統(tǒng)的最簡(jiǎn)規(guī)范形。結(jié)果表明6維退化Hopf分岔系統(tǒng)的非線性項(xiàng)只包含5階項(xiàng)和9階項(xiàng)，5維Hopf分岔系統(tǒng)的非線性項(xiàng)只包含3階項(xiàng)和5階項(xiàng)。 （2）研究了高維Neimark-Sacker分岔和退化Neimark-Sacker分岔的最簡(jiǎn)規(guī)范形的系數(shù)。根據(jù)最簡(jiǎn)規(guī)范形理論，通過引進(jìn)特殊的非線性變換、直接計(jì)算法利第二數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)中心流形上的方程進(jìn)一步化簡(jiǎn)，計(jì)算出Neimark-

4、Sacker分岔和退化Neimark-Sacker分岔最簡(jiǎn)規(guī)范形的非線性項(xiàng)中分別只包含兩項(xiàng)。獲得了幾個(gè)關(guān)于Neimark-Sacker分岔和退化Neimark-Sacker分岔的最簡(jiǎn)規(guī)范形系數(shù)與傳統(tǒng)規(guī)范形系數(shù)之間關(guān)系的定理。 （3）運(yùn)用可逆線性變換和近恒同變換，研究了不經(jīng)計(jì)算傳統(tǒng)規(guī)范形，直接計(jì)算高維非線性動(dòng)力系統(tǒng)的最簡(jiǎn)規(guī)范形。引進(jìn)可逆線性變換，將非線性動(dòng)力系統(tǒng)的線性矩陣拓?fù)涞葍r(jià)于符合實(shí)際研究需求的分塊對(duì)角線矩陣：相伴矩陣分布在對(duì)

5、角線上，其余元素均為0。利用低階項(xiàng)來化簡(jiǎn)高階項(xiàng)，得到了高維非線性動(dòng)力系統(tǒng)的最簡(jiǎn)規(guī)范形。在該最簡(jiǎn)規(guī)范形中，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)相伴矩陣的非線性系數(shù)矩陣，只有最后一行含有非0元素，其余各行元素均為0。借助Mathematica語言，編制了計(jì)算高維非線性動(dòng)力系統(tǒng)最簡(jiǎn)規(guī)范形的通用程序。運(yùn)行該程序，分別計(jì)算了2維、3維、4維、6維和7維非線性動(dòng)力系統(tǒng)直到4階的最簡(jiǎn)規(guī)范形。 （4）運(yùn)用含有參數(shù)的可逆線性變換和含有參數(shù)的近恒同變換，提出了不計(jì)算傳統(tǒng)規(guī)

6、范形，直接計(jì)算含參非線性動(dòng)力系統(tǒng)最簡(jiǎn)規(guī)范形的一種計(jì)算方法。借助Mathematica語言，編制了計(jì)算含參非線性動(dòng)力系統(tǒng)的最簡(jiǎn)規(guī)范形的通用程序。 （5）利用含有參數(shù)的可逆線性變換和含有參數(shù)的近恒同非線性變換，得到一類機(jī)電耦合非線性系統(tǒng)的最簡(jiǎn)規(guī)范形。進(jìn)一步得到了該系統(tǒng)的普適開折以及開折參數(shù)與原系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。討論了該系統(tǒng)的余維2分岔，揭示了各參數(shù)對(duì)機(jī)電耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計(jì)、穩(wěn)定運(yùn)行和故障診斷提供了理論依據(jù)。

7、給出了該機(jī)電耦合系統(tǒng)的數(shù)值仿真結(jié)果，驗(yàn)證了理論分析結(jié)果。 （6）利用Silnikov定理，討論了具有自動(dòng)頻率跟蹤功能電磁振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的混沌特性。借助卡爾達(dá)諾公式和微分方程組級(jí)數(shù)解分別討論了該系統(tǒng)的特征根問題和同宿軌道的存在性，進(jìn)而比較嚴(yán)密地證明了該系統(tǒng)Silnikov型Smale混沌的存在性，并給出發(fā)生Silnikov型Smale混沌所需條件。利用數(shù)值模擬得到該類機(jī)電耦合系統(tǒng)的相軌跡圖、Lyaponov指數(shù)譜和Lyaponov維