Hilbert空間中稠定閉算子的Moore-Penrose逆的擾動(dòng)定理.pdf

1、廣義逆理論是應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)分支，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的研究方向之一.廣義逆理論的內(nèi)容極其豐富，主要有矩陣廣義逆、線性空間中線性變換的廣義逆、Hilbert空間中線性算子的線性廣義逆、正交廣義逆及Banach空間中線性算子的線性廣義逆等，廣義逆理論涉及代數(shù)、分析、統(tǒng)計(jì)、計(jì)算、優(yōu)化、控制等多個(gè)學(xué)科，因此這一學(xué)科有著多個(gè)研究領(lǐng)域.廣義逆理論之所以應(yīng)用如此廣泛，這主要因?yàn)閺V義逆所研究的對象一般涉及到所謂的“不適定”線性問題.這些問題所包含的

2、信息不是太多就是太少，因此不能作為非奇異問題進(jìn)行求解.然而，在某種意義下，它們不但有“解”，而且甚至有唯一的“解”，例如“最小二乘解”或“最小范數(shù)解”等.因此，在凡是遇到“不適定”線性問題的學(xué)科，便出現(xiàn)了廣義逆。將廣義逆與非線性分析的工具結(jié)合，也能求解一大批非線性“不適定”問題，所以研究算子廣義逆理論具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。 1920年，E.H.Moore首先對任意的矩陣，引入廣義逆矩陣的概念.1955年，R.Penr

3、ose證得：存在唯一矩陣B滿足下面的四個(gè)矩陣方程：ABA=A，BAB=B，(AB)*=AB，(BA)*=BA，這些條件等價(jià)于Moore的條件，滿足這些條件的唯一矩陣B被稱之為A的Moore-Penrose廣義逆，且記為A+.由于Moore-Penrose廣義逆具有極小二乘性質(zhì)，Moore-Penrose廣義逆的連續(xù)性也被廣泛研究，近年來，馬吉溥、曹偉平、宋國柱、陳果良、薛以鋒、魏木生、魏益民、黃強(qiáng)聯(lián)等人對Hilbert空間中有界線性算子

4、的Moore-Penrose廣義逆進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，得到了一系列Moore-Penrose廣義逆連續(xù)的充分必要條件.然而，他們討論的都是有界線性算子Moore-Penrose廣義逆的連續(xù)性.無界線性算子的Moore-Penrose廣義逆的連續(xù)性也是值得探討的問題.由于無界線性算子的定義域不是全空間，有界線性算子情形的技巧不能完全應(yīng)用于無界線性算子。因此，必須引入新的技巧和方法.本文將主要討論Hilbert空間中閉線性算子Moore-Pe

5、nrose逆的擾動(dòng)問題： 稠定閉線性算子是一類重要的無界線性算子，設(shè)T是X到Y(jié)的稠定閉線性算子，且存在有界Moore-Penrose逆T+∈B(L.X).自然地，可以研究下面的擾動(dòng)問題：“小”擾動(dòng)δT在什么情形下可以保證擾動(dòng)算子T=T十δT的Moore-Penrose逆Tt存在？如果存在，我們能否給出T具體的表達(dá)式？值得注意的是，在已有文獻(xiàn)中對上述問題的研究都假定了δTTt的范數(shù)小于1.如果直接假定δTTt的范數(shù)小于1，那么算子

6、I+δTTt的可逆性和逆算子(I+δTTt)-1的有界性可以由著名的Banach引理直接得到，那么在不假定δTTt的范數(shù)小于1的情況下，如何討論相應(yīng)的擾動(dòng)問題？因此，考慮這個(gè)問題的關(guān)鍵就在于如何證明算子I+δTTt可逆且其逆算子(I+δTT+)-1有界.文中利用一個(gè)新的方法證明算子I+δTTt的可逆性，進(jìn)而給出擾動(dòng)后的算子T的廣義逆穩(wěn)定的充分條件，即：設(shè)X，Y，是Hilbert空間，T∈C(X，Y)，D(T)=X，T有有界的Moore-