非線性方程的迭代與Adomian級(jí)數(shù)解法.pdf

1、非線性問題在現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算中占有相當(dāng)重要的地位,由實(shí)際問題經(jīng)過數(shù)學(xué)模型化后導(dǎo)出的方程(組)往往是非線性的,因此如何更好的合理解決這些非線性方程(組)在近幾十年來成為一個(gè)非常熱門的研究課題。文章研究的主要內(nèi)容是解非線性方程(組)的迭代法和Adomian級(jí)數(shù)法,全文共分為四章。 在第一章中,主要介紹了非線性問題與迭代法研究的背景和歷史。對全文經(jīng)常用到的幾個(gè)概念作了交代。由于構(gòu)造迭代法的一個(gè)重要手段是通過幾何途徑或者結(jié)合使用多步法的技巧

2、,所以本章著重對由此方法構(gòu)造的一些比較重要的方法作了介紹。 在第二章中,介紹了基于單點(diǎn)信息的迭代族構(gòu)造方法,也就是構(gòu)造一個(gè)迭代法只用到在一點(diǎn)處的函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)信息。先通過對一般的二次曲線近似代替函數(shù)f與x軸交點(diǎn)作為下一步的迭代值構(gòu)造一含參數(shù)的無理迭代族,再通過近似處理將無理迭代族轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的有理迭代族。給出了相應(yīng)的收斂性分析以證明新構(gòu)造的無理與有理迭代族均為三階收斂的。由于在用二次函數(shù)逼近非線性函數(shù)f構(gòu)造迭代法時(shí)要進(jìn)行開方運(yùn)算,這

3、有時(shí)是不方便的,為了避免對根式的計(jì)算,在構(gòu)造迭代法時(shí)先對二次方程進(jìn)行線性化處理,由此構(gòu)造出一種新型的有理迭代族。通過收斂性分析可知,此迭代族也是三階收斂的。以上構(gòu)造的有理迭代格式中均含有對f"的計(jì)算,為了避免對函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,文中分別用了兩種方法對此進(jìn)行了近似處理。最后在數(shù)值例子中分別對迭代族中參數(shù)取固定常數(shù)與每步自動(dòng)調(diào)整與以往的經(jīng)典方法進(jìn)行了比較。當(dāng)采用參數(shù)每步自動(dòng)調(diào)整的方法時(shí),在不增加額外函數(shù)與導(dǎo)數(shù)值計(jì)算的前提下,有較好的收斂效

4、果。 在第三章中,介紹了基于兩點(diǎn)信息的迭代族構(gòu)造方法,也就是構(gòu)造一個(gè)迭代法要用到在兩個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)信息。其中用以逼近函數(shù)f的函數(shù)分別取了拋物線和有理函數(shù),即用拋物線或有理函數(shù)與x軸的交點(diǎn)作為下一步的迭代值。當(dāng)用拋物線法構(gòu)造時(shí),導(dǎo)出了相應(yīng)的無理與有理迭代族。當(dāng)用有理函數(shù)法構(gòu)造時(shí),導(dǎo)出了相應(yīng)的有理迭代族。通過收斂性分析證明了上面兩種方法導(dǎo)出的迭代族均可達(dá)到五階收斂。由于在以上兩種有理迭代族中均要對f'(zn)進(jìn)行計(jì)算,其中zn

5、是相應(yīng)迭代的牛頓步,為了避免對f'(zn)的計(jì)算以減少每步迭代所需的開支,文中利用了在兩點(diǎn)處的差商代替導(dǎo)數(shù)的技巧,在差商代替時(shí)如果選擇適當(dāng)?shù)膮?shù),則可使相應(yīng)免f1(zn)計(jì)算的迭代族為四階收斂。在最后給出了相應(yīng)的數(shù)值例子,與以往的經(jīng)典方法進(jìn)行了比較,以說明新構(gòu)造的迭代族的有效性。在第四章中,主要討論了Adomian級(jí)數(shù)法在構(gòu)造迭代法時(shí)的一些結(jié)論。Adomian級(jí)數(shù)法是美國數(shù)學(xué)家G.Adomian在80年代初提出的用以解決非線性問題的一種