分?jǐn)?shù)階微積分在反常輸運(yùn)過程中的應(yīng)用研究.pdf

1、近幾十年來，分?jǐn)?shù)階微積分理論成功應(yīng)用于工程科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，比如電磁學(xué)、流體力學(xué)、粘彈性、反常擴(kuò)散和信號(hào)處理，呈現(xiàn)出欣欣向榮之勢。這表明分?jǐn)?shù)階微積分理論具有獨(dú)特的優(yōu)勢，體現(xiàn)了其不可替代性，關(guān)于這方面的理論和應(yīng)用研究已成為一個(gè)國際熱點(diǎn)問題。相比較經(jīng)典的整數(shù)階微分算子，由于分?jǐn)?shù)階微分算子具有全局相關(guān)性或非局部的特性，故更適合于描述具有記憶性和遺傳特性材料的復(fù)雜力學(xué)行為。
　　本文主要介紹分?jǐn)?shù)階微積分理論在粘彈性材料、流體力學(xué)、生物組織傳

2、熱和激光加熱中的應(yīng)用。為了更好的分析這些反?，F(xiàn)象，通過合適的參數(shù)估計(jì)方法獲得了模型中未知參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)結(jié)果。首先，利用由分?jǐn)?shù)元組成的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系模型:分?jǐn)?shù)元模型，分?jǐn)?shù)階Maxwell模型，分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt模型和分?jǐn)?shù)階Poynting-Thomson模型，描述粘彈性材料的時(shí)間依賴蠕變行為。借助于聚合物和巖石的三組蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比這些分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系模型的有效性，并通過內(nèi)點(diǎn)算法求得這些模型參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)結(jié)果，借助圖形將三組材料

3、的蠕變數(shù)據(jù)與計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析表明分?jǐn)?shù)階Poynting-Thomson模型在描述材料的蠕變行為時(shí)是最優(yōu)的。其次，考慮到空間分?jǐn)?shù)階微分算子可以準(zhǔn)確的描述反常力學(xué)行為的路徑依賴、長程相關(guān)等特性，故將流體力學(xué)中的經(jīng)典Navier-Stokes方程中拉普拉斯算子替換為Riesz分?jǐn)?shù)階微分算子，得到空間分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程。借助分?jǐn)?shù)階微分方程的有限差分算法研究兩平行平板之問的壓力驅(qū)動(dòng)流動(dòng)，分析模型參數(shù)對(duì)流體流動(dòng)的影響;并

4、運(yùn)用Levenberg-Marquardt算法獲得模型中未知參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)值。結(jié)果顯示，兩個(gè)模型參數(shù)對(duì)速度場均有較強(qiáng)的影響，且Levenberg-Marquardt方法在空間分?jǐn)?shù)階微分方程反問題的研究中是有效的。再次，基于生物組織建立分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型和相應(yīng)的生物傳熱方程，以此解釋預(yù)處理肉中的傳熱現(xiàn)象。借助于傅里葉變換和拉普拉斯變換獲得由H函數(shù)表示的解析解。模型中的兩個(gè)松弛時(shí)間和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)均由非線性最小二乘法獲得最優(yōu)估計(jì)值。通過圖

5、形對(duì)比測量溫度和計(jì)算所得溫度，得到較好的擬合效果，并詳細(xì)分析了模型參數(shù)的影響。最后，基于分?jǐn)?shù)階Taylor級(jí)數(shù)和Tzou提出的雙相延遲模型，建立分?jǐn)?shù)階雙相延遲熱傳導(dǎo)模型;針對(duì)短脈沖激光加熱半無窮介質(zhì)問題建立分?jǐn)?shù)階雙相延遲熱傳導(dǎo)方程，利用拉普拉斯變換給出問題的半解析解，并利用數(shù)值求逆拉普拉斯變換的方法深入剖析了短脈沖激光加熱的熱傳輸過程。具體來講:
　　第一章，主要介紹分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷史，本文要研究的主要問題以及可能用到的一些預(yù)

6、備知識(shí)。
　　第二章，基于分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系模型研究粘彈性材料的時(shí)間依賴蠕變行為?；诜?jǐn)?shù)階微積分的粘彈性材料本構(gòu)關(guān)系模型不僅具有擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)好、使用參數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)，而且可以合理地描述具有記憶和時(shí)間依賴的物理現(xiàn)象，故研究人員在粘彈性材料本構(gòu)模型的研究中開始采用分?jǐn)?shù)階微積分理論。本章借助于分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系模型:分?jǐn)?shù)元模型，分?jǐn)?shù)階Maxwell模型，分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt模型和分?jǐn)?shù)階Poynting-Thomson模型研究粘彈性材料（

7、聚合物和巖石）的蠕變行為，這些模型的蠕變函數(shù)分別為J(t)=tα/ηΓ(1+α)，(1)J（t)=tα/η1Γ(1+α)+tβ/η2Γ(1+β)，(2)J(t)=tα/η1Eα-β,1+α（-tα-β/η1/η2），(3)J(t)=tλ/η3Γ（1+λ)+tα/η1-Eα-β，1+α（-tα-β/η1/η2），(4)這里Ep，q(z)是Mittag-Leffler函數(shù)。通過包括HDPE，PEEK和巖石在內(nèi)的三組蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說明分?jǐn)?shù)階粘彈

8、性模型的有效性，并分析了所得擬合結(jié)果。結(jié)果顯示，分?jǐn)?shù)階Poynting-Thomsom模型的擬合效果是本章涉及的分?jǐn)?shù)階微分模型中最好的，其可以很好的抓住粘彈性固體短時(shí)和長時(shí)的蠕變行為。模型參數(shù)的識(shí)別是分?jǐn)?shù)階微分模型研究中的一個(gè)重要問題，本章將采用內(nèi)點(diǎn)算法估計(jì)了未知的模型參數(shù)，得到未知參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)值。內(nèi)點(diǎn)算法對(duì)于解決分?jǐn)?shù)階微分模型參數(shù)估計(jì)的反問題是可行的。
　　第三章，主要研究空間分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程，并用分?jǐn)?shù)階微

9、分方程有限差分的方法獲得兩平行平板之間壓力驅(qū)動(dòng)流動(dòng)的速度分布。將Navier-Stokes方程中的拉普拉斯算子替換為Riesz分?jǐn)?shù)階微分算子，可得以下形式的空間分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程(6)/(6)tu（y，t）=-1/ρ(6)p/(6)x+v(6)α/(6)|y|αu（y，t）.(5)以上述方程為運(yùn)動(dòng)方程，考慮垂直距離是L的兩平行平板之間流體的不定常壓力驅(qū)動(dòng)流動(dòng)，其初邊值條件分別為u（y，0）=0，0＜y＜L，(6)u(0

10、，t)=u(L,t)=0,t≥0.(7)借助于有限差分的方法獲得此問題在常壓力梯度驅(qū)動(dòng)下的速度分布，探討分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和廣義雷諾數(shù)對(duì)不定常粘性流動(dòng)的影響，結(jié)果顯示兩個(gè)模型參數(shù)對(duì)兩平行平板之間的流動(dòng)均有較大影響。為了更好的分析兩平行平板之間的壓力驅(qū)動(dòng)流動(dòng)的特性，探討兩個(gè)模型參數(shù)的估計(jì)問題，并利用Levenberg-Marquardt(L-M)方法估計(jì)了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和廣義雷諾數(shù)，結(jié)果表明用Levenberg-Marquardt方法解決空間分?jǐn)?shù)階微

11、分方程中的反問題是有效的。
　　第四章，主要研究時(shí)間分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型及其在生物組織傳熱中的應(yīng)用。首先基于經(jīng)典傅里葉定律提出以下生物組織傳熱中的時(shí)間分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型q(r，t)+ταq(6)αq/(6)tα(r,t)=-k{▽T(r，t)+τ(6)β/(6)tβ▽T(r，t)}，(8)其中0＜α，β＜1，分?jǐn)?shù)階微分為Caputo型分?jǐn)?shù)階微分。生物組織熱傳導(dǎo)通常采用以下Pennes'方程ρc(6)/(6)tT(r，t)=-▽·q(

12、r，t)+Q(r，t)，(9)其中Q(r，t)=wbcb(Tα-T(r，t))+qm+qr，ρ，c和T分別是生物組織的密度，比熱和溫度;cb是血液的比熱，wb是血液灌注率;Tα是動(dòng)脈血的溫度;qm是生物組織的新陳代謝產(chǎn)生的熱量，qr是空間熱源項(xiàng)。方程(8)和(9)聯(lián)立可得帶有兩個(gè)分?jǐn)?shù)階參數(shù)α和β的生物傳熱方程，其中包括體現(xiàn)生物組織內(nèi)在熱性能的松弛時(shí)間τq和延遲時(shí)間τT?；贛itra等的實(shí)驗(yàn)，提出以下初邊值條件:T(x,0)=T0f(x

13、),q(x,0)=0,(10)lim x→±∞q(x，t)=0，lim x→±∞ T(x，t)=0， t＞0，(11)并借助于積分變換和H函數(shù)，得到了以上初邊值條件下分?jǐn)?shù)階雙相延遲熱傳導(dǎo)方程的精確解。進(jìn)一步用非線性最小二乘的方法預(yù)測了Mitra等給出的實(shí)驗(yàn)Ⅰ和Ⅲ的溫度，結(jié)果顯示分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型能較好地吻合測量數(shù)據(jù)且能很好的抓住溫度快速上升的趨勢。對(duì)比熱波模型和雙相延遲模型，分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型的L2誤差最小。這說明分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型有助

14、于提升對(duì)生物組織中熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)。
　　第五章，主要研究短脈沖激光加熱一個(gè)半無窮介質(zhì)。以時(shí)間分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型q（r，t)+τβq(6)β/(6)tβq(r,t)=-k(1+τβT(6)β/(6)tβ)▽T(r，t)，(12)為熱傳導(dǎo)模型，建立相應(yīng)的包含體積熱源項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程τβq/α(6)β+1T/(6)tβ+1+1/α(6)T/(6)t=（1+τβT(6)β/(6)tβ）△T+1/k(1+τβq(6)β/(6)tβ）g

15、，(13)這里g(x，t)=(1-rf)I0δf(t)e-δx.考慮初邊值條件T(x，t)=T0,(6)/(6)tT(x，t)=0,x＞0,t=0,(14)(6)/(6)xT(x，t)=0，x=0，t＞0，(15)T(x,t)=T0,x→∞，t＞0,(16)下定解問題的解，通過拉普拉斯變換的方法得到了溫度分布的半解析解。最后，利用數(shù)值逆拉普拉斯變換的方法數(shù)值剖析了分?jǐn)?shù)階階數(shù)和延遲時(shí)間對(duì)溫度分布產(chǎn)生的影響。
　　第六章，給出本文的總