分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解析和數(shù)值方法及其參數(shù)估計(jì)問題.pdf

1、作為一種新穎的數(shù)學(xué)工具，分?jǐn)?shù)階微積分建模方法和理論被廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、金融、控制工程等諸多領(lǐng)域。基于分?jǐn)?shù)階微分算子所具有的記憶、遺傳特性，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型在刻畫物理力學(xué)過程中涉及記憶和遺傳、路徑依賴、全局相關(guān)和自相似性等的反?，F(xiàn)象中體現(xiàn)了其優(yōu)越性。隨著分?jǐn)?shù)階微積分的逐漸發(fā)展，分?jǐn)?shù)階相關(guān)文章正在呈現(xiàn)出“井噴式”的增長態(tài)勢。已有眾多學(xué)者致力于研究分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解析和數(shù)值方法?；诜?jǐn)?shù)階微積分在實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)

2、數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)問題逐漸發(fā)展成為近年來新興的一個(gè)研究熱點(diǎn)。關(guān)于整數(shù)階模型的參數(shù)估計(jì)問題的研究已經(jīng)相對成熟，然而在分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域，對于分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型中參數(shù)的研究，人們大多是通過曲線擬合的方法得到的，而缺乏具體可行的適用于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型的參數(shù)反演方法。因此，本文主要研究分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解析和數(shù)值方法及其參數(shù)估計(jì)問題。
　　本文中針對不同的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型，分別研究了正問題的求解方法，以及分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)估計(jì)問題。首先，針對不規(guī)則凸區(qū)域上的

3、二維時(shí)空分?jǐn)?shù)階波動方程，提出了新穎的不規(guī)則網(wǎng)格有限元算法，并證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性。其次，推導(dǎo)了帶有分?jǐn)?shù)階熱流條件的一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階熱波方程，利用積分變換方法給出了模型的解析解，并利用最小二乘算法估計(jì)了分?jǐn)?shù)階階數(shù)和熱松弛時(shí)間，為分?jǐn)?shù)階反問題提供了具體的參數(shù)估計(jì)方法。第三，基于廣義分?jǐn)?shù)階單元網(wǎng)絡(luò)Zener模型，率先提出了利用貝葉斯方法研究分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)估計(jì)問題，并證明了貝葉斯方法的穩(wěn)定性和收斂性，為分?jǐn)?shù)階反問題提供了高效、具體的參數(shù)估

4、計(jì)方法。第四，針對多孔介質(zhì)中的分?jǐn)?shù)階分形擴(kuò)散模型，利用有限差分方法求得了模型的數(shù)值解，并將貝葉斯方法應(yīng)用于實(shí)際問題，基于甲烷在碳介質(zhì)中的快速解吸附實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了貝葉斯方法的有效性。最后，將時(shí)間分?jǐn)?shù)階模型推廣到了多項(xiàng)的情形，利用修正的分?jǐn)?shù)階預(yù)估校正算法得到了正問題的數(shù)值解，并給出了另一種有效的適用于分?jǐn)?shù)階反問題的參數(shù)估計(jì)方法，即復(fù)合Nelder-Mead單純形和粒子群優(yōu)化算法。具體地:
　　第一章，我們首先簡要介紹分?jǐn)?shù)階微積分的產(chǎn)生

5、及發(fā)展歷程，并給出本文中用到的幾種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義形式。然后，簡單的概述本文的主要研究內(nèi)容。
　　第二章，針對定義在不規(guī)則凸區(qū)域上的二維時(shí)-空分?jǐn)?shù)階波動方程，我們提出一種新穎的不規(guī)則凸區(qū)域上的不規(guī)則網(wǎng)格有限元算法。在時(shí)間上，利用Crank-Nicolson格式離散Caputo時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，而在空間上，利用了一種基于不規(guī)則網(wǎng)格剖分的Galerkin有限元算法。本章中建立了不規(guī)則網(wǎng)格Crank-NicolsonGalerkin數(shù)值格式

6、的穩(wěn)定性和收斂性分析，并給出了詳細(xì)的數(shù)值實(shí)現(xiàn)過程。數(shù)值算例表明本章中所提出的不規(guī)則網(wǎng)格有限元方法在求解不規(guī)則凸區(qū)域上的二維時(shí)-空分?jǐn)?shù)階波動方程問題中是有效的。此外，文中對比了規(guī)則網(wǎng)格剖分和不規(guī)則網(wǎng)格剖分在數(shù)值格式的實(shí)現(xiàn)上的異同，結(jié)果表明不規(guī)則網(wǎng)格剖分在數(shù)值實(shí)現(xiàn)上需要更大的計(jì)算量，但格式所產(chǎn)生的誤差更小。鑒于實(shí)際問題中的研究區(qū)域大多趨于不規(guī)則性，如人類的心臟和大腦，而不規(guī)則區(qū)域很難用規(guī)則的網(wǎng)格剖分很好的近似，因此，研究不規(guī)則凸區(qū)域上基于不

7、規(guī)則網(wǎng)格剖分的有限元方法具有顯著的實(shí)際意義。
　　第三章，我們研究Caputo導(dǎo)數(shù)定義下帶有分?jǐn)?shù)階熱流條件的一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階熱波方程及其參數(shù)估計(jì)問題。根據(jù)分?jǐn)?shù)階Cattaneo方程理論，我們首先推導(dǎo)了帶有分?jǐn)?shù)階熱流條件的時(shí)間分?jǐn)?shù)階熱波模型，并利用分?jǐn)?shù)階Laplace變換、有限Fourier余弦變換等方法給出了正問題的解析解。然后，利用通過求解正問題獲得的真實(shí)溫度場和隨機(jī)誤差合成仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即介質(zhì)內(nèi)部溫度的測量值。在此基礎(chǔ)上，我們提

8、出利用最小二乘方法研究分?jǐn)?shù)階階數(shù)α和熱松弛時(shí)間Τ的兩參數(shù)估計(jì)問題。最后，對不同的熱流分布函數(shù)所構(gòu)成的兩個(gè)初邊值問題分別進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。數(shù)值算例結(jié)果表明最小二乘算法在求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階熱波方程的兩參數(shù)估計(jì)問題中是有效的.
　　第四章，針對粘彈性材料的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程，我們率先提出利用基于統(tǒng)計(jì)原理的貝葉斯方法研究分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)估計(jì)問題。基于描述粘彈性材料粘彈特性的廣義分?jǐn)?shù)階單元網(wǎng)絡(luò)Zener模型，在模型解析解的基礎(chǔ)上，我們率先將貝葉斯方法應(yīng)

9、用于分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)估計(jì)問題中，同時(shí)估計(jì)了模型中的四個(gè)未知參數(shù)（α，β，λ，(Τ)）。然后，我們給出數(shù)值算例驗(yàn)證了貝葉斯方法在分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)估計(jì)問題中的有效性和可行性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于貝葉斯方法所得參數(shù)估計(jì)值的模型模擬結(jié)果很好的擬合了粘彈性材料的實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)，證明了貝葉斯方法在分?jǐn)?shù)階參數(shù)估計(jì)問題中的有效性，同時(shí)說明了廣義分?jǐn)?shù)階單元網(wǎng)絡(luò)Zener模型在刻畫粘彈性材料的粘彈特性方面是可行的。該研究為分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型的參數(shù)估計(jì)問題提供了具體

10、、可行而有效的參數(shù)反演方法。
　　第五章，針對多孔介質(zhì)中的反常擴(kuò)散現(xiàn)象，我們研究了分?jǐn)?shù)階分形擴(kuò)散模型的數(shù)值求解方法及其參數(shù)估計(jì)問題。首先，利用中心盒式差分算法給出了分?jǐn)?shù)階分形擴(kuò)散模型初邊值問題的數(shù)值解。然后，在正問題的基礎(chǔ)上，我們利用貝葉斯方法同時(shí)估計(jì)了模型中的三個(gè)參數(shù)，即分?jǐn)?shù)階階數(shù)α、分形維數(shù)df、結(jié)構(gòu)參數(shù)θ。最后，利用甲烷在碳介質(zhì)中的快速解吸附實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本章中所用方法的有效性。數(shù)值結(jié)果表明，基于貝葉斯方法所得參數(shù)估計(jì)值的分

11、數(shù)階分形擴(kuò)散模型很好的擬合了甲烷的快速解吸附實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，證明了貝葉斯方法在分?jǐn)?shù)階分?jǐn)?shù)擴(kuò)散模型的參數(shù)估計(jì)問題中是有效的。同時(shí)，通過對比經(jīng)典的Fick模型與分?jǐn)?shù)階分形擴(kuò)散模型，可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典的Fick模型在描述甲烷的反常擴(kuò)散行為中是失效的，而分?jǐn)?shù)階分形擴(kuò)散模型能夠很好的刻畫這一多孔介質(zhì)中的反常擴(kuò)散現(xiàn)象。此外，為了說明參數(shù)對模型的影響，文中分別分析了參數(shù)α、df、θ的敏感性。結(jié)果表明，三個(gè)參數(shù)α、df、θ均顯著影響著分?jǐn)?shù)階分形擴(kuò)散模型的模型擬合

12、效果，尤其在實(shí)驗(yàn)的初始階段。本研究為描述多孔介質(zhì)中反常擴(kuò)散現(xiàn)象的分?jǐn)?shù)階分形擴(kuò)散模型的參數(shù)估計(jì)問題提供了具體、有效的參數(shù)反演方法。
　　第六章，我們研究Caputo導(dǎo)數(shù)定義下的多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程及其參數(shù)估計(jì)問題。首先，利用修正的分?jǐn)?shù)階預(yù)估校正算法得到正問題的數(shù)值解。然后，利用復(fù)合Nelder-Mead單純形和粒子群優(yōu)化算法研究相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)問題。最后給出數(shù)值算例，基于粘彈性材料的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證本章中所用方法在求解多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階微

13、分方程參數(shù)估計(jì)問題中的有效性。鑒于實(shí)際問題中實(shí)驗(yàn)測量時(shí)間較長，在參數(shù)估計(jì)問題中，文中只取初始階段的一部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用于估計(jì)模型中的未知參數(shù)，繼而考察所得參數(shù)估計(jì)值是否適用于整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程的所有數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，只用初始階段數(shù)據(jù)所得的參數(shù)估計(jì)值同時(shí)適用于整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程的所有數(shù)據(jù)，證明了分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型在刻畫材料的真實(shí)物理力學(xué)現(xiàn)象及預(yù)測未來發(fā)展趨勢中的有效性，同時(shí)說明了本章中所用數(shù)值求解方法和參數(shù)反演方法的可行性。
　　第七章，給出本文的總