兩點(diǎn)邊值問題的有限元解法【文獻(xiàn)綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　信息與計(jì)算科學(xué)</b></p><p>　　兩點(diǎn)邊值問題的有限元解法</p><p>　　有限元方法已成為當(dāng)前求解偏微分方程數(shù)值解的一個(gè)重要方法, 從數(shù)學(xué)上看, 這種方法起源于變分法, 是古典的變分法與分片多項(xiàng)式插值相結(jié)合的產(chǎn)物, 20世紀(jì)

2、50年代初, 從事航空工程、土木結(jié)構(gòu)、水利建設(shè)的工程師們開始應(yīng)用和發(fā)展一種用離散模型代替連續(xù)模型的方法求解各種結(jié)構(gòu)力學(xué)問題, 并且逐漸波及各個(gè)連續(xù)場(chǎng)領(lǐng)域, 1960年美國(guó)人Ray Clough教授首先給出了“有限元方法”這一名稱. Clough教授形象地將其描繪為: “有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函數(shù)”, 即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況.不同于求解（往往是困難的）滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)

3、的Rayleigh Ritz法, 有限元方法將函數(shù)定義在簡(jiǎn)單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)）, 且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件, 這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一.對(duì)于不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題, 有限元求解法的基本步驟是相同的, 只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同.有限元求解問題的基本步驟通常為:</p><p>　　首先討論問題的求解域, 根據(jù)實(shí)際問題近似確定求解域的物

4、理性質(zhì)和幾何區(qū)域.并求解域離散化, 將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域, 習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分; 然后確定狀態(tài)變量及控制方法：一個(gè)具體的物理問題通?？梢杂靡唤M包含問題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示, 為適合有限元求解, 通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式;接下來進(jìn)行單元推導(dǎo):對(duì)單元構(gòu)造一個(gè)適合的近似解, 即推導(dǎo)有限單元的列式, 其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系, 建立單元試函數(shù), 以某種方法給出單元各

5、狀態(tài)變量的離散關(guān)系, 從而形成單元矩陣.最后將單元總裝形成離散域的總矩陣方程, 反映對(duì)近似求解域的離散域的要求, 即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件.并聯(lián)立方程組求解, 有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程常用的求解方法如直接法、選代法和隨機(jī)法.求解結(jié)果是單元結(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值.</p><p>　　我國(guó)著名數(shù)學(xué)家馮康先生說過, 同一物理問題可以有許多不同的數(shù)學(xué)形式, 它們?cè)跀?shù)學(xué)上是等價(jià)的, 但在實(shí)踐中并不等效, 從

6、不同的數(shù)學(xué)形式可能導(dǎo)致不同的數(shù)值計(jì)算方法, 原問題的基本特征在離散后應(yīng)盡可能得到保持. 而基于變分方法的有限元方法正是利用這種思想, 把數(shù)學(xué)物理方程中存在大量存在的問題轉(zhuǎn)化為與原問題等價(jià)的變分問題, 最后采用數(shù)值方法求解, 這是近現(xiàn)代求解微分方程的一種非常重要的方法, 有著重要的理論和實(shí)際意義.因此越來越多的數(shù)學(xué)家加入了發(fā)展有限元方法的行列, 使這種方法逐漸擺脫了工程問題的局限性, 成為一種具有嚴(yán)密數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的求解微分方程定解問題的有效方

7、法.</p><p>　　本文就是對(duì)兩點(diǎn)邊值問題的有限元解法進(jìn)行了討論研究, 其中運(yùn)用了11篇文獻(xiàn). 文獻(xiàn)[3]介紹了一些泛函分析的有關(guān)知識(shí); 文獻(xiàn)[4]和[5]是對(duì)有限元方法的一些基本理論作了一定的介紹,文獻(xiàn)[6]講解了一種解邊值問題比較常用的方法--Galerkin法; 文獻(xiàn)[7,8,9]都介紹了偏微分方程數(shù)值解的兩類主要方法, 即有限差分方法和有限元方法, 其中, 文獻(xiàn)[9]還介紹了偏微分方程數(shù)值處理中的基

8、本思想、有關(guān)理論、有效算法和數(shù)值例子等內(nèi)容.</p><p>　　在這些文獻(xiàn)中, 文獻(xiàn)[6,7,8,9]對(duì)本文的研究起到至關(guān)重要的作用,本文首先引入兩點(diǎn)邊值問題</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　然后參考文獻(xiàn)[6][9], 利用變分原理以及泛函分析基本知識(shí), 可將上述問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的變分問題</p>&

9、lt;p><b>　　求, 使, 其中 </b></p><p>　　參考文獻(xiàn)[9], 將的試探函數(shù)和檢驗(yàn)函數(shù)子空間均取為, 可得近似變分問題</p><p><b>　　求, 使</b></p><p>　　再將上述問題等價(jià)的寫成有限元方程的形式</p><p><b>　　求,

10、使 </b></p><p>　　其中為線性元空間的Lagrange節(jié)點(diǎn)基函數(shù). </p><p>　　于是,參考文獻(xiàn)[7] 得到相應(yīng)的矩陣表達(dá)形式</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　這樣, 我

11、們就得到了兩點(diǎn)邊值問題的有限元求解方法, </p><p>　　最后, 我們可以試著討論具體的模型問題</p><p><b>　　, </b></p><p>　　我們可以利用中矩形近似計(jì)算積分, 代入上述問題的有限元方程, 可以較為精確求出上述問題的數(shù)值解.</p><p>　　結(jié)合文獻(xiàn)[10]、[11]提供的豐富的

12、理論知識(shí), 我們可以試著探討更廣泛的一些問題的有限元方法求解. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　R.A.Adams.Sobolev spaces, Academic Press,New York,1975.</p><p>　　[2] 馮康. 基于變分原理的差分格式. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué), 1965, 2(4

13、):237-261.</p><p>　　[3] 王聲望, 鄭維行等編著. 實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要 [M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 1987.</p><p>　　[4] 王烈衡, 許學(xué)軍編著. 有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) [M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2004.</p><p>　　[5] 李開泰, 黃慶懷編著. 有限元方法及其應(yīng)用 [M]. 北京: 科學(xué)出版社,

14、 2006</p><p>　　[6] 李榮華. 偏微分方程數(shù)值解法[M] . 北京: 高等教育出版社, 2005</p><p>　　[7] 舒適. 偏微分方程典型離散化方法的基本理論與算法分析. 內(nèi)部講義, 2007, 5-68</p><p>　　[8] 李榮華. 邊值問題的Galerkin法[M] . 北京: 科學(xué)出版社, 2005</p>&

15、lt;p>　　[9] 陳傳淼, 黃云清. 有限元高精度理論. 湖南科技出版社, 1995</p><p>　　[10]A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162-166</p><p>　　[11] N.N.Yan, Superconvergence analysis