中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史

1、中國古代數(shù)學(xué)及其成就,彭 揚 帆,一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《易經(jīng)》——“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契?！薄渡袝?#183;序》——“古者伏羲氏之王天下也，始畫八卦，造書契，以代結(jié)繩之政，由是文籍生焉?！?一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《易經(jīng)· 系辭傳》——“包犧氏沒，神農(nóng)氏作。……日中為市，致天下之民，交易而退，各得其所?！?一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《周禮》中的六藝禮—禮節(jié)。五禮者，吉、兇、賓、軍、嘉也

2、。 樂—音樂。六樂 ：云門、大咸、大韶、大夏、大鑊、大武射—射箭技術(shù)。五射：白矢、參連、剡注、襄尺、井儀 御—駕駛馬車的技術(shù)。鳴和鸞、逐水車、過君表、舞交衢、逐禽左書—文學(xué)。六書：象形 、指事、會意、形聲、轉(zhuǎn)注、假借 數(shù)—算術(shù)與數(shù)論知識,一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,周代的數(shù),一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,算籌與籌算算籌是中國古代的主要計算工具，用這種工具進行計算和演算則稱為籌算。春秋戰(zhàn)國之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用。籌算記數(shù)

3、法已使用十進位值制。,一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,算籌《墨經(jīng)》：“一少于二而多于五，說在建位?！边@就是說，一在個位少于二，在十位就多于五，每個數(shù)字的大小除由它本身所表示的數(shù)值決定外，還要看它在整個數(shù)中所處的位置。根據(jù)后來約公元4世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》的記載，任何數(shù)都是由九個縱排數(shù)字和九個橫排數(shù)字按個、百、萬等用縱籌，十、千等用橫籌來表示，零用空位表示。,一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,幾何學(xué)《史記·夏本記》 —夏禹治水時“左

4、準(zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時，以開九州，通九道，陂九澤，度九山 ?！?一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,幾何學(xué)《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理。 商高曰:……折矩以為勾廣三、股修田,徑隅五…”,一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《墨經(jīng)》“圓，一中同長也”“端，體之無序而最前者也”“端，是無同也”“平，同高也”“平，謂臺執(zhí)著也，若弟兄”“方，柱隅四權(quán)也”“方，矩寫交也”“倍，為二也”“久

5、，彌延時也”“直：參也” （三點相齊）；“次（相切）：無間而不相櫻也（既無大小又不相合）；”,一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《墨經(jīng)》提出“環(huán)俱抵”（圓環(huán)轉(zhuǎn)動時每一點都與地面接觸而形成一根直線）來反駁名家的“輪不輾地”，次的定義顯然來源于此。他們認為，在區(qū)域的前緣連一根線也容納不下（域不容尺）稱為“有窮”；不論區(qū)域多大，在其前緣總能容下一線之寬（莫不容尺），稱為“無窮”。因此在墨家看來，一個具體的空間不能既是“有窮”，又是“無窮”的

6、。墨家也不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。,一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,幻方（Magic Square）,一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,乘法口訣表《管子·輕重》云：“濾戲作造六峜以迎陰陽，作九九之?dāng)?shù)以合天道?！薄俄n詩外傳》云；“齊桓公設(shè)庭宴燎，待人士不至，有以九九見者。 ”,一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《

7、春秋》：“公田之法，十足其一；今又履其余畝，復(fù)十取一。”《莊子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”《史記》——田忌賽馬,二、秦漢數(shù)學(xué),《算數(shù)書》 1983年12月在湖北江陵張家山出土一本西漢初年的竹簡《算數(shù)書》，收有許多應(yīng)用的數(shù)學(xué)問題。據(jù)研究，出土《算數(shù)書》的漢墓的下葬時間，約在西漢呂后（公元前187-前180年在位）至漢武帝（公元前179-前157年在位）初年之間。,二、秦漢數(shù)學(xué),《算數(shù)書》竹簡著作《

8、算數(shù)書》抄寫于西漢初年（約公元前2世紀(jì)），成書時間應(yīng)更早，是一部比較完整的，也是目前可以見到的中國最早的數(shù)學(xué)專著。全書采用問題集形式，共有69個小標(biāo)題，，71條相當(dāng)抽象的公式，近百道數(shù)學(xué)問題及其解法，內(nèi)容包括整數(shù)和分數(shù)四則運算、比例問題、面積和體積問題等等。,二、秦漢數(shù)學(xué),《算數(shù)書》 1相乘，2分乘，3乘，4矰（增）減分，5分當(dāng)半者，6分半者，7約分，8合分，9徑分，10出金，11共買材，12狐出關(guān)，13狐皮，14女織，15并租，16

9、負米，17金賈（價），18舂粟，19銅秏（耗），20傳馬，21婦織，22羽矢，23桼（漆）錢，24繒幅，25息錢，26?（飲）桼（漆），27稅田，28程竹，29醫(yī)，30石?（率），31賈鹽，32挐脂，33取程，34秏（耗）租，35程禾，36取枲程，37誤券，38租吳（誤）券，39粺毀（毇），40秏，41粟為米，42粟求米，43米求粟，44米粟并，45粟米并，46負炭，47盧唐，48羽矢，49絲練，50行，51分錢，52米出錢，53方田，

10、54除，55鄆都，56芻，57旋粟，58囷蓋，59睘（圜）亭，60井材，61以睘（圜）材方，62以方材睘（圜），63睘（圜）材，64啟廣，65啟從（縱），66少廣，67大廣，68里田。,二、秦漢數(shù)學(xué),《漢書·藝文志》——《許商算術(shù)》2卷和《杜忠算術(shù)》16卷《算數(shù)書》《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》,二、秦漢數(shù)學(xué),《周髀算經(jīng)》 大約成書于西漢時期（公元前1世紀(jì)）為趙君卿所作，北周時期甄鸞重述，唐代李淳風(fēng)等注。,二、秦漢數(shù)學(xué),

11、《周髀算經(jīng)》勾股定理—“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日”,昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。”,二、秦漢數(shù)學(xué),

12、《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》(漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書)中最重要的一種。魏晉時劉徽為《九章算術(shù)》作注時說:“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”，又說“漢北平侯張蒼、大司農(nóng)中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補，故校其目則與古或異，而所論多近語也”。,第一章“方田”： 主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法。包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積

13、的計算方法。另外還系統(tǒng)地講述了分數(shù)的四則運算法則，以及求分子分母最大公約數(shù)等方法。38,第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術(shù)；46,第三章“衰分”：比例分配問題；介紹了開平方、開立方的方法，其程序與現(xiàn)今程序基本一致。這是世界上最早的多位數(shù)和分數(shù)開方法則。它奠定了中國在高次方程數(shù)值解法方面長期領(lǐng)先世界的基礎(chǔ)。20,第四章“少廣”：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等；24,第五

14、章“商功”：土石工程、體積計算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；28,第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負擔(dān)問題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法。28,第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設(shè)化為盈不足問題的一般問題

15、的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大.20,第八章“方程”：一次方程組問題；采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。這一章還引進和使用了負數(shù)，并提出了正負術(shù)——正負數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同；解線性方程組時實際還施行了正負數(shù)的乘除法。18,第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題。24,“今有望海島，

16、立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合，問島高及去表各幾何？ 答曰：島高四里五十五步。去表一百二里一百五十步。,術(shù)曰：以表高乘表間為實。相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠近者，以前表卻行乘表間為實。相多為法除之，得表去島里數(shù)?！?答曰：島高四里五十五步。去表一百二里一百五十步。,“今有上禾三秉，中禾二秉

17、，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何。答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。,《九章算術(shù)》的特點 ①采用按類分章的數(shù)學(xué)問題集的形式； ②算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來的，這些算式表示法緊密地依賴于數(shù)字在圖式上的位置； ③以算術(shù)、代數(shù)為主，幾何也是偏重于量的計算，很少涉及圖形的性

18、質(zhì); ④重視應(yīng)用，缺乏理論闡述。,二、魏晉至隋唐時期數(shù)學(xué),玄學(xué)是魏晉時期的主要哲學(xué)思潮，是道家和儒家融合而出現(xiàn)的一種文化思潮，也可以說是道家之學(xué)以一種新的表現(xiàn)方式，故又有新道家之稱。,吳國 趙爽 注《周髀算經(jīng)》漢末魏初 徐岳 撰《九章算術(shù)》注魏末晉初 劉徽 撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》1卷,趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在《周髀算經(jīng)》書中補充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重

19、要的數(shù)學(xué)文獻。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的5個公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。,二、魏晉至隋唐時期數(shù)學(xué),劉徽約與趙爽同時，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想，主張對一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義，認為對數(shù)學(xué)知識必須進行“析理”，才能使數(shù)學(xué)著作簡明嚴(yán)密。他的《九章算術(shù)》注不僅是對《九章算術(shù)》的方法

20、、公式和定理進行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。,二、魏晉至隋唐時期數(shù)學(xué),劉徽從率（后稱為比）的定義出發(fā)論述了分數(shù)運算和今有術(shù)的道理，并推廣今有術(shù)得到合比定理，他根據(jù)率、線性方程組和正負數(shù)的定義闡明方程組解法中消元的道理，指出方程式個數(shù)少于未知數(shù)個數(shù)時，方程組的解只能是一個比值；在一個方程式中，正與負可以同時變號；減法消元和加法消元可以統(tǒng)一為一種方法。 在開方求得整數(shù)后，還可以繼續(xù)開方—“求其微數(shù)”。解決了求無

21、理根的問題，還提出了十進小數(shù)的方法。 他創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率157/50和3927/1250。他提出用無窮分割的方法證明直角方錐與直角四面體的體積之比恒為2 : 1， 解決了一般立體體積的關(guān)鍵問題。 在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽實際上應(yīng)用了下列公理：等高的兩立體，若其任意同高處的水平截面積成比例，則這兩立體體積亦成同樣的比例；并根據(jù)這個公理，指出球的體積與

22、其外切“牟合方蓋”的體積之比為π:4。,牟合方蓋,二、魏晉至隋唐時期數(shù)學(xué),南北朝時期，國家處于南北分裂的狀態(tài)。,二、魏晉至隋唐時期數(shù)學(xué),北方數(shù)學(xué)的發(fā)展成果：《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》（已失傳）、《張丘建算經(jīng)》。但其基本都是建立在《九章算術(shù)》的注釋和發(fā)展上，不過也有新的成果，例如一次同余式組解法，等差級數(shù)求和、求公差、求項數(shù)的方法和不定方程解法等,南方數(shù)學(xué)的發(fā)展以祖沖之父子的工作為代表。他們在《九章算術(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向

23、前推進了一步。根據(jù)史書的記載，祖沖之曾經(jīng)注解《九章算術(shù)》，并與他的兒子祖暅共撰《綴術(shù)》六卷。,① 圓周率　據(jù)推測， 祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到 3.1415926< π <3.1415927。他又創(chuàng)造了新的方法，得到圓周率兩個分數(shù)值，即約率22/7(= 3.142857142857143)和密率355/113(= 3.141592920353982 )。祖沖之這一工

24、作，使中國在圓周率計算方面，比西方領(lǐng)先約一千年之久。,② 祖暅公理和球體積　祖暅總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同則積不容異”即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積必相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應(yīng)用這個公理和劉徽的“牟合方蓋”模型（ 圖8），解決了劉徽尚未解決的球體積公式。,③ 二次與三次方程　《隋書·律歷志》在敘述祖沖之的圓周率以后說：“又設(shè)開差冪，開差立，兼以正負參之。指要精密，算氏之最者也?！?/p>

25、中國古代稱正系數(shù)的二次與三次方程解法為開帶從平方和開帶從立方，祖沖之用“差冪”取代帶從平方，用“差立”取代帶從立方，應(yīng)指包括負系數(shù)在內(nèi)的二次與三次方程的解法，因為只有負系數(shù)的方程在開方時才需“兼以正負參之”。,隋、唐數(shù)學(xué)的發(fā)展,隋朝，民族大融合，土木工程建設(shè)較多。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》，主要是討論土木工程中計算土方、工程的分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題。提出三次方程的問題。,《緝古算經(jīng)》涉及到立體體積計算、勾股計算、建立和求解三

26、次方程x3+ax2+bx=A（a、b和A，非負），建立和求解雙二次方程x4+ax2=A（a、A，為正，這是一種特殊形式的四次方程）等數(shù)學(xué)內(nèi)容。,隋朝的官學(xué)設(shè)立：國子學(xué)、太學(xué)、四門學(xué)、書學(xué)、算學(xué),唐朝，中央專設(shè)學(xué)校（六學(xué)一館）：國子學(xué)、太學(xué)、四門學(xué)、書學(xué)、算學(xué)、律學(xué)廣文館,隋、唐數(shù)學(xué)的發(fā)展,算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，學(xué)生30人。由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋《算經(jīng)十書》，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。,算經(jīng)十書：《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島

27、算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《輯古算經(jīng)》《綴術(shù)》《五曹算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》,隋唐時期，由于歷法的需要，天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。206年，為了確定合朔時刻，劉洪在《乾象歷》中首次提出用一次內(nèi)插公式來確定月球在n + s（n為正整數(shù)，s<1）日共行的度數(shù)。600年，隋代天文學(xué)家劉焯在《皇極歷》中提出一個推算日、月、五星視行度數(shù)的等間距二次內(nèi)插公式。727年一行（張燧）在他

28、的《大衍歷》中又提出一個不等間距的二次內(nèi)插公式。唐代其他歷法，都應(yīng)用內(nèi)插法進行計算。,隋、唐數(shù)學(xué)的發(fā)展,計算技術(shù)的改革　算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點，但也存在布籌占用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革?，F(xiàn)傳本《數(shù)術(shù)記遺》載有“積算”、“太乙”、“兩儀”、“三才”、“五行”、“八卦”、“九宮”、“運籌”、“了知”、“成數(shù)”、“把頭”、“龜算”、“珠算”、“計數(shù)”等14種

29、算法，反映了這種改革的情況。,唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計算增多，迫切要求改革計算方法.這次算法改革主要是簡化乘、除算法，書目中提到的“一位算法”、“求一”、“得一”的內(nèi)容就是用分解因數(shù)的方法；化多位乘除為個位乘除；或用折半、加倍、退位的方法把乘除數(shù)化為首位是1的數(shù)，從而變乘除為加減?！断暮铌査憬?jīng)》記有很多這樣的例子，例如“九因五添”、“添四四”、“身外減二”、“隔位加二”、“損一位”等等，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算

30、，它既適用于籌算，也適用于珠算。,五代十國全圖,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》。1213年鮑干澣之又進行翻刻。這些情況為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。從11～14世紀(jì)約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，如賈憲（11世紀(jì)中期）的

31、《黃帝九章算法細草》（已失傳），劉益（12世紀(jì)中期）的《議古根源》（已失傳），秦九韶的《數(shù)書九章》 （1247），李冶的《測圓海鏡》 （1248）和《益古演段》 （1259），楊輝的《詳解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《楊輝算法》（1274～1275），朱世杰的《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》 （1303）等，很多領(lǐng)域都達到古代數(shù)學(xué)的高峰。其中一些成就也是當(dāng)時世界數(shù)學(xué)的高峰。,概 述,增乘開方法與賈憲三角（二

32、項系數(shù)表）　從開平方、開立方到4次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現(xiàn)這個飛躍的是賈憲。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源圖”、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開 4次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比巴斯卡三角形早600多年。,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,高

33、次方程數(shù)值解法　把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程（包括系數(shù)為負的情形）解法的是劉益（12世紀(jì)中期）?！稐钶x算法》中《田畝比類乘除捷法》卷下介紹了原書中22個二次方程和1個四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數(shù)書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程（最高次數(shù)為10）的問題。為了適應(yīng)增乘開方法的計算程序，秦九韶把常數(shù)項規(guī)定為負數(shù)。他把高次方程解法分成各種類型，如：n次項系數(shù)不

34、等于1的方程，奇次冪系數(shù)均為零的方程，進行x=y+c代換后常數(shù)項變號的方程與常數(shù)項符號不變而絕對值增大的方程等。方程的根為非整數(shù)時，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母、常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù)部分，這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第 2位數(shù)時，秦九韶還提出以一次項系數(shù)除常數(shù)項為根的第 2位數(shù)的試除法。秦九韶的方法比霍納方法早500多年。,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,高階等差級數(shù)求和　高階等差

35、級數(shù)求和起源于沈括的“隙積術(shù)”。用棋子之類的東西堆成長方垛，棋子總數(shù)為cd + (a+1)(b+1) +…+(c-1)(d-1) + cd = [(2b + d)a +(2d + b)c] n/6+ (c - a) n/6 。楊輝在《詳解九章算法》中討論了上述垛積的 3個特例。即方亭垛（a＝b，c＝d）、方錐垛（a=b=1，c=d=n）和三角垛（通項為n(n + 1)/2）。朱世杰把高階等差級數(shù)求和問題與二項系數(shù)表結(jié)合起來，得到更復(fù)雜的

36、三角形垛和嵐形垛。,1，5，11，20，33，51，75，106,……,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,內(nèi)插法　元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在《授時歷》（1280）中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問題。秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法（他們稱為招差術(shù)），朱世杰得到一個四次函數(shù)的內(nèi)插公式：,一次同余式組解法　《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題已提到一次同余式組解法的例子，秦九韶把它一般化。在這個方法中有一個必須解決的關(guān)鍵問題是求同

37、余式k i Gi ≡1(mod ai )中的k i， 式中Gi =M/ ai (M=a1a2…ap)。秦九韶在《數(shù)書九章》大衍類里，用更相減損的方法給出k i，一個計算程序，完滿地解決了這個問題，此外，秦九韶還討論了模數(shù)ai是收數(shù)（小數(shù)）、通數(shù)（分數(shù)）、元數(shù)（一般正整數(shù)）、復(fù)數(shù)（10n的倍數(shù)）非兩兩互素的情形，并分別給出變上述4種數(shù)為兩兩互素的模數(shù)的方法。,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,高次方程立法 用天元作為未知數(shù)符號，立出高次方程，古代稱

38、為天元術(shù)。這是中國數(shù)學(xué)史上首次引入符號，并用符號運算來解決建立高次方程的問題?，F(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測圓海鏡》。李冶在一次項系數(shù)右旁記一“元”字（或在常數(shù)項右旁記一“太”字）。元以上的系數(shù)分別表示各正次冪，元以下的系數(shù)表示常數(shù)和各負次冪（在《益古演段》中又把這個次序倒轉(zhuǎn)過來）。建立方程的具體方法是，根據(jù)問題的已知條件，列出兩個相等的多項式p1(x)和p2(x)，令二者相減，即得一個數(shù)字高次方程。若其中一個多項式是分式多項式，如p

39、1(x) = q1(x)/q2(x) ，李冶則變另一多項式p2(x)為p2(x) q2(x)/q2(x)，使二者相減時消去分式多項式的分母，得 q1(x) - p2(x) q2(x) = 0。這是劉徽關(guān)于率的概念在多項式運算中的應(yīng)用與發(fā)展。,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,高次聯(lián)立方程組　從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項杰出的創(chuàng)造。祖頤在《四元玉鑒》后序中提到，平陽李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，霍山劉大鑒《

40、乾坤括囊》有天、地、人三元。燕山朱漢卿“按天、地、人、物立成四元”。前二書已失傳，留傳至今并對這一杰出創(chuàng)造進行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法無疑是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，他把常數(shù)放在中央。四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻是提出四元消元法。其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個一元高次方程式，然后應(yīng)用互乘相消法逐步

41、消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù)，得到一個一元高次方程。最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展。朱世杰的方法比西方同類方法早400多年。,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,勾股形解法 勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展，朱世杰在《算學(xué)啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法， 補充了《九章算術(shù)》的不足。 李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到一系列的結(jié)果。他把容圓勾股形分成14個相似的

42、勾股形，除按傳統(tǒng)的方法給出這些勾股形的名稱外，還用文字作符號來表示，與現(xiàn)今用字母A，B，C，…表示幾何圖形相似。從14個勾股形中，李冶得到692條“識別雜記”，闡明各勾股形的線段之間與線段的和、差、積之間的關(guān)系。除原有的勾股容圓外，李冶得到勾上容圓、股上容圓、弦上容圓、勾股上容圓、勾外容圓、股外容圓、弦外容圓、勾外容圓半、股外容圓半等9個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學(xué)的內(nèi)容。,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,弧矢割圓術(shù)　已知黃道與赤道的夾角和太

43、陽從冬至點向春分點運行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個解球面直角三角形的問題。傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括的會圓術(shù)（已知弦、矢、半徑求弧長的近似公式）和天元術(shù)解決了這個問題。整個推算步驟是正確無誤的。從數(shù)學(xué)意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,縱橫圖　縱橫圖即幻方，宋元時期，縱橫圖研究有了很大發(fā)展，楊輝在《續(xù)古摘奇算法》中指出，九宮圖是一個從1～32的9

44、個自然數(shù)排成三行三列，其行、列或?qū)蔷€之和均為15的三行縱橫圖。這種圖可以推廣到從 1到n2的情形，它的行、列或?qū)蔷€之和為n(1+n2)/2。他還列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8個縱橫圖，并指出三行和四行縱橫圖的構(gòu)造方法。,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,小數(shù)　現(xiàn)傳本《夏侯陽算經(jīng)》已有化名數(shù)為十進小數(shù)的例子。宋元時代，這種十進小數(shù)有了廣泛應(yīng)用和發(fā)展，秦九韶用名數(shù)作為小數(shù)的符號，李冶則依靠算式的位置表示小數(shù)。楊輝和朱世杰的化斤價為兩價

45、的歌訣，是小數(shù)的具體應(yīng)用。,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,珠算的出現(xiàn)　中國古代計算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術(shù)書目，其數(shù)量遠比唐代為多。改革的主要內(nèi)容仍是乘除法?！傲纛^乘”最早見于朱世杰《算學(xué)啟蒙》?！熬艢w”最早出現(xiàn)在沈括的《夢溪筆談》，楊輝在《乘除通變本末》（1274）、朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中進一步把 它完善。“歸除”最早見于《算學(xué)啟蒙》，“撞歸”、“起一”是朱世杰首先提出來的，丁巨（著有《丁巨

46、算法》，1355）、何平予（著有《詳明算法》，1373）和賈亨（著有《算法全能集》）把它具體化?！傲纛^乘”與“歸除”的出現(xiàn)，使乘除法不需任何變通便可在一個橫列里進行，與現(xiàn)今珠算的方法完全一樣。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋已可能出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應(yīng)該說它最后完成于元代。,宋、元時期數(shù)學(xué)發(fā)展,珠算的普及　從明初到明中葉，商品經(jīng)濟有所發(fā)展，和這種商業(yè)發(fā)展相適應(yīng)的是珠算的普及。明初《魁本

47、對相四言雜字》（1371）和《魯班木經(jīng)》（15世紀(jì)上半葉）的出現(xiàn)，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，后者把算盤作為家庭必需用品列入一般的木器家具手冊中。隨后，珠算著作也陸續(xù)出現(xiàn)。如吳敬《九章詳注比類算法大全》（1450）、王文素《古今算學(xué)寶鑒》（1524）、徐心魯《盤珠算法》（1573）、柯尚遷《數(shù)學(xué)通軌》（1578）、朱載堉的《算學(xué)新說》（1584）、程大位《直指算法統(tǒng)宗》（1592）等。隨著珠算的普及，珠算算法和口訣也逐

48、漸趨于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣并在除法中廣泛應(yīng)用歸除，從而實現(xiàn)了珠算四則運算的全部口訣化；朱載堉和程大位把籌算開平方和 開立方的方法應(yīng)用到珠算，程大位用珠算解數(shù)字二次、三次方程等等。程大位的著作在國內(nèi)外流傳很廣，影響很大,明、清時期數(shù)學(xué),九九口訣,加法口訣,一歸（用1除）：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九.二歸（用2除）：逢二

49、進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四， 二一添作五.三歸（用3除）：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三余一，三二六余二.四歸（用4除）：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二余二，四三七余二.五歸（用5除）：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八.六歸（用6除）：逢六進一，六三添作五，六一下加四，六二三余二，六四六余四，六五八余二.七歸（用7除）：逢七進一，七一下加三，七二下加六，七三四余二，七四五余五，七五

50、七余一，七六八余四.八歸（用8除）：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六余二，八六七余四，八七八余六.九歸（用9除）：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八.,明、清時期數(shù)學(xué),西方數(shù)學(xué)的傳入,1582年意大利傳教士利瑪竇到中國，1607年以后，先后與徐光啟翻譯《幾何原本》前6卷（1607）、《測量法義》1卷（1607～1608），與李之藻編

51、譯《圜容較義》（1608）和《同文算指》（1613）。1629年，徐光啟被禮部任命在歷局督修歷法，在他主持下， 編譯《崇禎歷書》137卷?！冻绲潥v書》主要是介紹歐洲天文學(xué)家第谷的地心學(xué)說，作為這一學(xué)說的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，希臘的幾何學(xué)， 歐洲的三角學(xué)以及納皮爾算籌，伽利略比例規(guī)等計算工具也同時介紹進來。,幾何原本》是明清兩代數(shù)學(xué)家必讀的數(shù)學(xué)書，對他們的研究工作也頗有影響。其次，應(yīng)用最廣的是三角學(xué)。介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測》2卷（1

52、631）、《割圓八線表》6卷和羅雅谷的《測量全義》10卷（1631）?！洞鬁y》主要說明三角八線（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢）的性質(zhì)，造表方法和用表方法?！稖y量全義》除增加一些《大測》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角（直角三角形的弧與角的關(guān)系式和一般三角形的正弦定理和余弦定理）。所有這些，在當(dāng)時歷法工作中都是隨譯隨用的。,明、清時期數(shù)學(xué),西方數(shù)學(xué)的融匯,1646年，波蘭傳教士穆尼閣來華，跟隨他學(xué)習(xí)西

53、方科學(xué)的有薛鳳祚、方中通等。穆尼閣去世后，薛鳳祚據(jù)其所學(xué)，編成《歷學(xué)會通》，想把中法西法融會貫通起來?！稓v學(xué)會通》中的數(shù)學(xué)內(nèi)容主要有《比例對數(shù)表》1卷（1653）、《比例四線新表》1卷和《三角算法》1卷（1653）。前兩書是介紹英國數(shù)學(xué)家 J.納皮爾和H.布里格斯發(fā)明增修的對數(shù)。后一書除《崇禎歷書》介紹的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式（Delambres analogies）、 納氏比例式（Nepiers analogi

54、es）等。方中通所著《數(shù)度衍》（1641），對對數(shù)理論進行解釋。對數(shù)的傳入是十分重要，它在歷法計算中立即就得到應(yīng)用。,清初學(xué)者研究中西數(shù)學(xué)有心得而著書傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》1卷，梅文鼎《梅氏叢書輯要》60卷（其中數(shù)學(xué)著作13種共40卷），年希堯《視學(xué)》2卷等。王錫闡的工作主要是證明兩角和、差的正弦和余弦公式。為了證明上述公式，他對涉及的名詞概念都逐一加以定義，引入“折”的概念取代角;由于缺乏直角坐標(biāo)系的概念，在證明時他還

55、把兩弧和兩弧的和差分為小于象限或大于象限的各種情形，方法是獨具一格的。梅文鼎是集中西數(shù)學(xué)之大成者。他對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進行整理和研究，使瀕于枯萎的明代數(shù)學(xué)出現(xiàn)了生機，在介紹西方數(shù)學(xué)中有校正、證明和補充。例如：校正了羅雅谷關(guān)于比例規(guī)敘述中的錯誤，證明三角學(xué)中沒有證明的公式和定理等。梅文鼎認為傳統(tǒng)的勾股形解法就是西方的幾何學(xué)和三角學(xué)，他用勾股形解法的公式證明《幾何原本》前6卷的15個定理，用勾股

56、方法證明球面直角三角形的邊角關(guān)系公式。他創(chuàng)造一種直角射影的方法證明球面三角學(xué)的余弦定理。對《測量全義》介紹的 5種多面體公式，他證明了其中4種，其中關(guān)于二十面體的計算，他糾正了《測量全義》和羅雅谷的錯誤等。梅文鼎肯定數(shù)學(xué)來源于實際；對西方數(shù)學(xué)，他認為“技取其長而理唯其是”，“法有可采何論東西，理所當(dāng)明何分新舊”，應(yīng)該“去中西之見，以平心觀理”，態(tài)度是比較正確的。年希堯的《視學(xué)》是中國第一部介紹西方透視學(xué)的著作。,明、清時期數(shù)學(xué),西方數(shù)學(xué)

57、的融匯,清康熙皇帝十分重視西方科學(xué)，他除了親自學(xué)習(xí)天文數(shù)學(xué)外，還培養(yǎng)了一些人才和翻譯了一些著作。1712年康熙皇帝命梅玨成任蒙養(yǎng)齋匯編官，會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文算法書。1721年完成《律歷淵源》100卷，以康熙“御定”的名義于1723年出版。其中《數(shù)理精蘊》53卷主要由梅玨成負責(zé)，分上下2編，上編包括《幾何原本》3卷、《算法原本》1卷，均譯自法文著作；下編40卷，包括算術(shù)、代數(shù)、平面幾何、平面三角、立體幾何等初等數(shù)

58、學(xué)，附有素數(shù)表、對數(shù)表和三角函數(shù)表?！稊?shù)理精蘊》的基本內(nèi)容除傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和早期傳入的西方數(shù)學(xué)外，新傳入的數(shù)學(xué)有借根方比例、“連比例”方法，橢圓面積和橢球體積以及計算尺、素數(shù)表等。由于它是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)百科全書，并有康熙“御定”的名義，因此對當(dāng)時數(shù)學(xué)研究是具有一定影響的。,明、清時期數(shù)學(xué),西方數(shù)學(xué)的融匯,1701年法國人杜德美帶來J.格雷果里的“弧求正弦”、“弧求正矢”和I.牛頓的“圓徑求周”三個無窮級數(shù)的公式，但沒有證明。1800年

59、前后，明安圖、董祐誠、項名達各自依據(jù)《數(shù)理精蘊》提出的“連比例”方法，對這些級數(shù)進行研究，獲得一些創(chuàng)造性結(jié)果。明安圖著有《割圓密率捷法》4卷 （1774年由他的學(xué)生陳際新定稿），他除了證明杜德美傳入的 3個公式外，還創(chuàng)造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6個新的公式。,明、清時期數(shù)學(xué),西方數(shù)學(xué)的融匯,董祐誠著有《割圜連比例圖解》2卷（1819），他把明安圖9個公式概括為“分弧通弦求全弧通

60、弦”、“分弧中矢求全弧中矢”、“分弧通弦求通弧通弦”、“分弧中矢求通弦中矢”4個公式。1837年項名達又把董祐誠的4個公式概括為“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”兩個公式。他著有《象數(shù)一原》6卷（1837，由戴煦續(xù)成）。著作后面附有《橢圓求周術(shù)》，正確地解決了橢圓求周長的問題。,戴煦對三角函數(shù)的冪級數(shù)公式和橢圓求周的問題也有研究，著有《外切密率》4卷（1852），補充正切、余切、正割、余割四個冪級數(shù)公式。為了簡化對數(shù)的計算，

61、他創(chuàng)立了指數(shù)為任何有理數(shù)的二項式定理展開式，從而也得到對數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)公式。這些成果記載在他著的《對數(shù)簡法》2卷（1845）和《續(xù)對數(shù)簡法》1卷（1846）中。,李善蘭在1845年著有《方圓闡幽》1卷，《弧矢啟秘》2卷與《對數(shù)探源》2卷。他創(chuàng)造尖錐術(shù)，并用它來論證二項平方根的冪級數(shù)公式，π的冪級數(shù)公式，“正弦求弧”、“正切求弧”、“弧求正弦”、“弧求正切”、“弧求正矢”、“弧求正割”等三角函數(shù)冪級數(shù)公式以及對數(shù)函數(shù)冪級數(shù)公式。所謂尖錐術(shù)