一道經(jīng)典的角平分線定理在相似三角形中的運用

1、一道經(jīng)典的角平分線定理在相似三角形中的運用相似三角形的內(nèi)容已經(jīng)放在了九年級下冊，可見該內(nèi)容對于學生來說是比較難以接受的，而且結(jié)果是比例關(guān)系，這樣在書寫中更加容易犯一些錯誤。所以加強相似三角形的學習不僅僅可以鞏固學生對知識的掌握，更加能讓他們在中考中避免因為書寫錯誤而導致不必要的丟分。但是相似三角形的題目很多，如果都采用過于重復的題目來進行訓練，會讓學生感到厭惡，甚至討厭該課程，這樣不僅僅達不到我們要的效果，還有可能適得其反。如果一道題目

2、能讓全部學生都可以進行學習，層次比較低的同學可以進行基本的訓練，層次比較高的同學可以進行深入研究與探討，讓所有的學生都能有收獲。這樣的題目是經(jīng)典的題目，一道經(jīng)典的題目可以讓學生對某個內(nèi)容可以深刻理解，因為一道經(jīng)典的題目可以讓學生永遠記住某個內(nèi)容，甚至可以記住一輩子。下面這道題目是我初中學習的時候遇到的一道題目，如今16年過去了，我依然能夠完整的記住該題目，足以說明這道題目的經(jīng)典所在。這道題目是這樣的：如圖①，在△ABC中，D是BC邊的中

3、點，DE平分∠ADBDF平分∠ADC，連結(jié)EF交AD與O點；M、N分別是ABAC的中點，分別連結(jié)MONO交ACAB的延長線上與P、Q兩點，連結(jié)PQ求證：PQ=AD。這個題目我之所以認為是經(jīng)典，是因為它具有一定的難度，而且可以分解成很多小題目，讓學生對自己在很多內(nèi)容上都進行考察與補充?？梢宰屪哉J為自己比較厲害的學生自己去做，在他們感覺到困難的時候去提示他們，可以讓他們得到真正的提高。我對這個題目的設(shè)計是分成這么幾步進行的：第一步：在△AB

4、D中，如果僅僅用有刻度有刻度的直尺如何能做出∠ADB的角平分線DE？這里要強調(diào)的是有刻度的尺，是因為我們要利用角平分線的定理（如果DE平分∠ADB，則）。所以我們要進行該定理的證明，此題在教BEAEBDAD?材八年級上的課本習題中出現(xiàn)過，只是當時很多學生和老師并不會注意該題。如果量出ADBD，AB的長度，可以通過角平分線定理得到BE或者AE的長度，進而做出點E的位置。角平分線定理這里可以用多種方法來證明，至于用幾種，可以依據(jù)學生程度與課

5、堂時間來把握。我這里就說兩種，其他的可以讓學生自己在課后去挖掘。（適合成績在30到40分左右的學生去學習，他們能掌握這個內(nèi)容已經(jīng)算很不錯的了）第一種證法：面積法。，可以得到結(jié)論。、BEAEABEADEBDAD????第二種證法：作利用△BKD∽△ALD△BKE∽△ALE兩DEALDEBK??次相似得到結(jié)論。第二步：通過線段成比例得到EF∥BC這個也是一個等量代換的難點所在。要充分的去講述等量代換中具體使用哪個等量作為代換的標準，是如何想

6、到的。（30到40分作為突破，60分左右的學生要完成這一步）第三步：首先可以得到MN∥BC（中位線定理，這個所有學生都必須掌握的內(nèi)容），進而證明PQ∥NM，得到MN∥EF∥BC∥PQ。這個內(nèi)容的證明會比較麻煩一點點，講述要慢，過程要穩(wěn)。畢竟這個內(nèi)容已經(jīng)是進階內(nèi)容了，所以對于60分左右的學生要讓他們在掌握前兩步的基礎(chǔ)上慢慢理解這個過程。（80分左右的學生要能完成這個過程并掌握）第四步：通過PQ∥NM，得到一個，由于NM=BD，進而得到結(jié)果

7、BDADMNPQ?PQ=AD。完成整個題目的證明。（最后一步不做具體要求，但是對平時在90分以上的學生要讓他們?nèi)フ莆?，讓他們能夠更加靈活的去運用所有的內(nèi)容，在今后的學習中更加學會靈活的運用知識，畢竟高考才是最終檢測我們初中的教學成果的考試。）整個題目被一步一步的解析，得到了最終的結(jié)論，那么我們在該過程中得到了什么？我們學會了什么樣的解題方法？我們要進一步來分析。第一，我們發(fā)現(xiàn)雖然一道難題，但是在我們慢慢的分析中，一步一步不開烏云見日出，

8、一步一步得到我們想要的結(jié)論。第二，如何能夠在解題過程中少走彎路，是我們一個面臨的一個共同的問題，畢竟考試的時間有限，在有限的時間完成整張試卷并且得到高分是我們教學的追求。這里我采用的方法是擺條件，從條件中相等的關(guān)系入手，畢竟幾何的證明題都是通過一個一個“=”來得到的結(jié)果的，所以我們采用等量關(guān)系入手是必須的。只有有了充分的等量關(guān)系，我們才能從①=②=③=……=結(jié)論。第三，建立一種階梯式的感覺，能得到第一步的結(jié)論的同學目前處于第一個格階梯，

9、第二步的處于第二格階梯，以此類推。告訴學生知識是慢慢積累才能提高的，而且只有站的越高，才能看的更遠。對應(yīng)此題目，如果一眼就能看出來四線平行，那么對于最后的結(jié)論只是唾手可得。第四，學習相似以前，一般的解題思路是要證明角相等一般從邊相等入手，通過全等得到結(jié)論。學習相似了以后，發(fā)現(xiàn)邊相等可以用平行線截線段成比例來證明。我們在此題的基礎(chǔ)上，出了幾道同樣的練習題，供學生課后使用。第一題：如圖②，在△ABC中，AD=BC，D是BC邊的中點，M、N分

10、別是ABAC的中點，分別連結(jié)MCNB交AD與O點，作OE∥BC交AB與E，求證ED平分∠ADB。第二題：如圖②，在△ABC中，AD=BC，D是BC邊的中點，DE平分∠ADBDF平分∠ADC，連結(jié)EF交AD與O點；M、N分別是ABAC的中點，求證:MOC三點共線。第三題：如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE平分∠ADBDF平分∠ADC，連結(jié)EF交AD與O點；M、N分別是ABAC的中點，若MOC三點共線，求證：AD=BC。雖然三道題