一線三等角型相似初三壓軸題

1、1中考熱點中考熱點5——三等角型相似三角形三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結論也不同，當頂點移動到底邊的延長線時，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認真做題，細細體會。典型例題典型例題【例1】如圖，等邊△ABC中，邊長為6

2、，D是BC上動點，∠EDF=60（1）求證：△BDE∽△CFD（2）當BD=1，F(xiàn)C=3時，求BE【思路分析思路分析】本題屬于典型的三等角型相似，由題意可得∠B=∠C=∠EDF=60再用外角可證∠BED=∠CDF，可證△BDE與△CFD相似排出相似比便可求得線段BE的長度解：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∠EDF=60∴∠B=∠C=∠EDF=60∵∠EDC=∠EDF∠FDC=∠B∠BED∴∠BED=∠FDC∴△BDE∽△CFD（2）

3、∵△BDE∽△CFD∴BECDBDFC?∵BD=1，F(xiàn)C=3，CD=5∴BE=35點評：點評：三等角型的相似三角形中的對應邊中已知三邊可以求第四邊。【例2】如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點，∠EDF=∠B，求證：△BDE∽△DFE【思路分析思路分析】比較例1來說區(qū)別僅是點D成為了BC的中點，所以△BDE與△CFD相似的結論依然成立，用相似后的對應邊成比例，以及BD=CD的條件可證得△BDE和△DFE相似解：解：∵AB=AC

4、，∠EDF=∠B∴∠B=∠C=∠EDF∵∠EDC=∠EDF∠FDC=∠B∠BED∴∠BED=∠FDC∴△BDE∽△CFD∴又∵BD=CDDFDECDBE?∴即DFDEBDBE?DFBDDEBE?∵∠EDF=∠BCADBEFCDEABF3【例4】（1）在中，，，點、分別在射線、上（點不與點ABC?5??ACAB8?BCPQCBACP、點重合），且保持.CBABCAPQ???①若點在線段上（如圖10），且，求線段的長；PCB6?BPCQ②若

5、，，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的xBP?yCQ?yx定義域；（2）正方形的邊長為（如圖12），點、分別在直線、ABCD5PQCB上（點不與點、點重合），且保持.DCPCB???90APQ當時，寫出線段的長（不需要計算過程，請直接寫出結果）.1?CQBP【思路分析思路分析】本例與前幾例的區(qū)別在于與等腰三角形底角相等的角的頂點不僅在線段上還可以運動至線段的延長線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原

6、來的兩個三角形相似列出比例式后求解。當?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r，依然沿用剛才的方法便可破解此類問題。解：解：（1）∵，，BAPBCPQAPQ???????ABCAPQ???∴.CQPBAP???又∵，∴.ACAB?CB???∴∽.QCP?ABP?∴.ABCPBPCQ?∵，，，，5??ACAB8?BC6?BP268???CP∴，.526?CQ512?CQ（2）若點在線段上，由（1）知.PCBABCPBPCQ?∵，，∴，xBP?8?BCxB