專(zhuān)題--數(shù)列求和的基本方法和技巧

1、1數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.1、等差數(shù)列求和公式：dn

2、nnaaanSnn2)1(2)(11?????2、等比數(shù)列求和公式：?????????????)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、4、)1(211?????nnkSnkn)12)(1(6112??????nnnkSnkn5、213)]1(21[?????nnkSnkn[例1]已知，求的前n項(xiàng)和.3log1log23??x???????????nxxxx32解：由212loglog3log1log3323????

3、???xxx由等比數(shù)列求和公式得（利用常用公式）nnxxxxS????????32＝＝＝1－xxxn??1)1(211)211(21??nn21[例2]設(shè)Sn＝123…n，n∈N求的最大值.1)32()(???nnSnSnf解：由等差數(shù)列求和公式得，（利用常用公式）)1(21??nnSn)2)(1(21???nnSn∴＝1)32()(???nnSnSnf64342??nnn＝＝nn64341??50)8(12??nn501?3把①式右邊

4、倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得（反序）0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS???????????又由可得mnnmnCC??…………..……..②nnnnnnnCCCnCnS???????????1103)12()12(①②得（反序相加）nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2))(22(2110?????????????∴nnnS2)1(???[例6]求的值?????89sin88sin3sin2sin1sin22222????????解：

5、設(shè)………….①?????89sin88sin3sin2sin1sin22222?????????S將①式右邊反序得…………..②（反序）?????1sin2sin3sin88sin89sin22222?????????S又因?yàn)?cossin)90cos(sin22????xxxx?①②得（反序相加）＝89)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222????????????????S∴S＝44.5四、分組

6、法求和四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例7]求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…23171411112?????????naaan解：設(shè))231()71()41()11(12??????????????naaaSnn將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得（分組）)23741()1111(12??????????????????naaaSnn當(dāng)a＝1時(shí)