四點共圓基本性質(zhì)及證明

1、黃忠明第1頁共7頁四點共圓四點共圓如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。四點共圓有三個性質(zhì)：（1）共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等；（2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補；（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進行證明。1定理判定定理方法方法1：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這

2、四點共圓。（可以說成：若線段同側(cè)二點到線段兩端點連線夾角相等，那么這二點和線段二端點四點共圓）方法方法2：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓。（可以說成：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓）托勒密定理若ABCD四點共圓（ABCD按順序都在同一個圓上），那么ABDCBCAD=AC??BD。?黃忠明第3頁共7頁若點C在圓外，設(shè)BC交圓

3、O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A∠DC’B=180，∵∠A∠C=180∴∠DC’B=∠C這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。2證明方法方法1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓周上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓方法2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周

4、角相等），從而即可肯定這四點共圓。幾何描述：四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC，則ABCD四點共圓。證明：過ABC作一個圓，明顯D一定在圓上。若不在圓上，可設(shè)射線BD與圓的交點為D，那么∠BDC=∠BAC=∠BDC，與外角定理矛盾。方法3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓。證法見上方法4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積