Darboux變換與（2+1）維孤子方程的精確解.pdf

1、孤立子理論是非線性科學(xué)的一個(gè)重要方向，它既反映一類非常穩(wěn)定的自然現(xiàn)象，體現(xiàn)了一大類非線性相互作用的若干特征，為許多應(yīng)用問(wèn)題(如光孤子通訊)提供了啟示。另一方面，這一理論又為非線性偏微分方程，尤其是為高維孤子方程提供了求顯式解的方法，是應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的重要組成部分，在流體力學(xué)、量子力學(xué)、經(jīng)典場(chǎng)論、等離子體物理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 對(duì)于多維孤子方程，由于這些方程的多維性和高度非線性，很難用直接的方法求解。因此，通常考慮將高維問(wèn)

2、題降為較低維的可積問(wèn)題。然后通過(guò)成熟的處理低維問(wèn)題的方法求解低維方程。最后利用高維和低維方程之間的聯(lián)系得到多維方程的孤子解。處理低維問(wèn)題常見(jiàn)的方法有：非線性化方法，達(dá)布變換法，反散射法，Bcklund變換，Hirota雙線性法，代數(shù)幾何法等。 本文通過(guò)兩個(gè)新(2+1)維孤子方程與(1+1)維孤子方程的關(guān)系，借助達(dá)布變換的方法求解出(1+1)維孤子方程的精確解，進(jìn)而得到兩個(gè)新(2+1)維孤子方程的解。這兩個(gè)新(2+1)維孤

3、子方程是： MKP型方程： 本文分為四部分。第一部分簡(jiǎn)單介紹孤子理論的發(fā)展和達(dá)布變換的主要思想。 第二部分是從MKP方程的譜問(wèn)題出發(fā)，利用映射方法推導(dǎo)出Lenard遞推算子K、J對(duì)，由此產(chǎn)生MKdV孤子方程。 第三部分考慮與(2+1)維MKP型方程相聯(lián)系的(1+1)維孤子方程的達(dá)布變換，求出(1+1)維孤子方程的達(dá)布陣和(2+1)維孤子方程的精確解。 第四部分以ω=常數(shù)作為種子解，討論(2+1)維