液晶動力學方程的理論分析.pdf

1、在描述液晶動力學行為的模型中,Doi-Onsager理論是基于統(tǒng)計力學的微觀理論,Ericksen-Leslie理論是從連續(xù)介質力學出發(fā)得到的宏觀理論。這兩個理論在液晶動力學研究中起著基本的作用,而且在實際中被廣泛應用。本文從微觀Doi-Onsager理論出發(fā),給出了宏觀Ericksen-Leslie理論的一個嚴格推導,從而在數(shù)學上證明了這兩個不同尺度、且從不同觀點得到的模型之間的一致性。
　　對于勻質系統(tǒng),Kuzzu-Doi[3

2、4]從Doi-Onsager模型出發(fā),在參數(shù)Deborah數(shù)趨于0時,利用形式漸近展開推導了Ericksen-Leslie模型。但由于他們考慮的系統(tǒng)是勻質的,因此無法得出Ericksen應力。E-Zhang在[20]中通過引入卷積型的非局部位勢,建立了非勻質系統(tǒng)的微觀Doi-Onsager模型,同樣也利用形式漸進展開在Deborah數(shù)趨于0的極限下推導出了完整的Ericksen-Leslie模型。本文的第一部分工作證明了在小Debora

3、h數(shù)極限下,Doi-Onsager方程的解將收斂到Ericksen-Leslie方程的解,從而給兩個理論之間的一致性建立了嚴格的數(shù)學基礎。
　　類似于Boltzmann方程的流體動力學極限問題,首先需要從Ericksen-Leslie方程的光滑解出發(fā),對Doi-Onsager方程的解作Hilbert展開。Hilbert展開的存在性很不顯然,它依賴于Ericksen-Leslie系統(tǒng)能量的耗散性。對這一點,本文證明了,從Doi-On

4、sager方程推導出的Ericksen-Leslie方程是能量耗散的。接下來問題的最大困難在于如何對Hilbert展開式余項得到一致控制估計,這與線性化算子的譜穩(wěn)定性有關。通過觀察到該線性化算子的一個分解形式,我們得到了它的核空間和譜的詳細信息。這些信息足以使得我們建立勻質系統(tǒng)的小Deborah數(shù)極限,還對非勻質系統(tǒng)還不夠,因為速度方程中的彈性應力項仍然是奇異的。為此,需要對一個與線性化算子相關的雙線性形式建立一個精確的下界估計。該雙線

5、性形式關于位置空間是非局部的,因此線性化算子的核內和核外部分在該形式中的相互影響非常復雜。通過對指向空間構造一個坐標變換,并且引入一個五維的線性空間(稱為Maier-Saupe空間),作者得到了該雙線性形式在Maier-Saupe空間內和空間外的不同形式的下界估計。對于Maier-Saupe空間之外的部分,可以得到強的控制;而對于Maier-Saupe空間之內的部分,只能得到較弱的控制。通過引入適當?shù)哪芰糠汉约皩ζ娈愴椊Y構的精細分析,

6、并充分利用雙線性形式的兩部分下界控制,從而最終對余項得到了封閉的誤差估計。這部分詳細內容參見第三章到第五章。
　　上述整個過程的前提是要求完整的Ericksen-Leslie方程存在光滑解,而在以往的研究中,由于它的完全形式過于復雜,大多數(shù)研究者在研究解的存在性時,通常都將Leslie應力忽略掉,僅僅保留Ericksen應力,同時用Ginzburg-Landau逼近來放松指向場模長為1的限制條件。因此,本文研究了完整形式的Eric

7、ksen-Leslie方程光滑解的存在性。首先作者細致分析了整個系統(tǒng)能量耗散中的抵消關系,將原方程化成了一個等價的形式,在該形式下推導先驗能量估計時,不需要用到指向矢模長為1的條件,從而使得逼近解的構造變得簡單。對于該等價形式,作者利用經(jīng)典的Friedrich方法構造了逼近解,并證明了逼近解的收斂性,以及原方程解的存在唯一性。同時,本文建立了Beale-Kato-Majda型爆破判據(jù),并利用該判據(jù)證明了小初值光滑解的整體存在性。值得一提

8、的是,前人的工作均要求所有耗散項的系數(shù)都大于0或者流體黏性系數(shù)足夠大(該兩個條件對很多實際系統(tǒng)并不滿足),而本研究對各耗散系數(shù)的要求降低到了最優(yōu)。該結果為本文前一部分研究提供了完備的基礎,詳細內容參見第二章。這是本文第二部分成果。
　　液晶理論的一個重要應用是生物細胞膜問題,因為細胞膜可以看成是兩層排列成近晶相的磷脂分子。本文第三部分研究了細胞膜的動力學方程的適定性。細胞膜動力學模型中包含了膜曲面的演化和其上二維不可壓流體的動力學

9、,整個系統(tǒng)構成了一個耦合了拋物型、橢圓型和雙曲型方程三類方程的方程組。它的求解是一個自由邊值問題,在通常的拉格朗日坐標下很難得到封閉的能量估計。本文引入等溫坐標將曲面重參數(shù)化,并利用等溫坐標下幾何量之間的簡化關系,得到了封閉的先驗能量估計。但是通常的迭代格式很難保證等溫關系一直成立,從而在對逼近系統(tǒng)做能量估計時,仍然會帶來導數(shù)損失。因此本文利用等溫坐標下幾何量之間的關系,構造了新的迭代格式,但這也產(chǎn)生了新的問題,即收斂系統(tǒng)和原系統(tǒng)的等價