雙調(diào)和方程及油田注水開發(fā)最優(yōu)控制問題數(shù)值分析.pdf

1、偏微分方程最優(yōu)控制問題在近三十多年的快速發(fā)展,為數(shù)學(xué)學(xué)科帶來了一個非常有發(fā)展前景和生命力的研究領(lǐng)域.對于這-領(lǐng)域的研究,涉及到了物理、化學(xué)、生物等許多應(yīng)用領(lǐng)域的內(nèi)容,如材料設(shè)計、晶體生長、溫度控制、石油開采等等,相關(guān)的文獻(xiàn)可以參見[39,47,49,73]等.其中涉及到的偏微分方程,既有橢圓的和線性的,又有拋物、雙曲的以及非線性的.此外,按照受限條件的不同,還可包含控制受限的最優(yōu)控制問題和狀態(tài)受限的最優(yōu)控制問題.偏微分方程最優(yōu)控制問題在

2、近幾十年的發(fā)展中,已經(jīng)有了相對完善的理論框架,相關(guān)的計算軟件的開發(fā)也取得了很大的進(jìn)展.工程上以及數(shù)學(xué)上,科學(xué)家們關(guān)心的最優(yōu)控制問題大多可用如下的抽象數(shù)學(xué)模型來表示:
　　 其中J為根據(jù)實際需要提出的目標(biāo)泛函,y稱為狀態(tài)變量,u稱為控制變量,Uad稱為控制約束集,A(y；u)=0表示某一偏微分方程,其中還包括變分不等式,甚至結(jié)合狀態(tài)受限等多種形式,一般地。我們稱A(y；u)=0為狀態(tài)方程.
　　 對于第-個方面(P1),單

3、就橢圓控制問題來說,供我們可研究的偏微分方程就還有很多.對于受控于二階橢圓方程的控制問題,按照受限變量劃分,在控制與狀態(tài)受限兩大方面均有了較廣泛的研究,如[2,3,6,14,16,17,18,19,31,61]等相關(guān)文獻(xiàn)；按照控制類型劃分,在分布式控制、邊界控制及參數(shù)估計等方面,也有了比較完善的結(jié)果,如[50,58,59,82,83]等.而對于受控于四階橢圓方程的最優(yōu)控制問題,研究相對較少,在這一領(lǐng)域,有許多相關(guān)的數(shù)學(xué)模型尚未建立,而眾

4、多數(shù)值算法的應(yīng)用,更是需要科研工作者探索的重要課題.我們知道,求解四階橢圓方程,如果用協(xié)調(diào)元直接進(jìn)行有限元離散,基函數(shù)對應(yīng)的分片多項式需要較多的自由度,帶來計算量的迅速增加.因此,尋求更加快速有效的數(shù)值算法,以及將這些算法融合到最優(yōu)控制的算法中去,是一項很有意義的工作.
　　 在四階偏微分方程的數(shù)值算法研究方面,特別地,在雙調(diào)和方程的研究上,已經(jīng)有很多出色的工作,例如文獻(xiàn)[7,8,22,25,26,28,30,40,53,63,

5、68,71,81]等.雙調(diào)和方程描述的物理模型來自于流體力學(xué)和工程力學(xué),例如彈性板的彎曲.本文中,我們僅就雙調(diào)和方程中很有代表性的一個類型展開研究,即第一類雙調(diào)和方程,數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:
　　 在某些關(guān)于第一類雙調(diào)和方程的應(yīng)用類文獻(xiàn)中,例如梁和板的形變問題中,上面模型中的y表示位移,△y表示曲率,一般地,工程上比較關(guān)心這這兩個參數(shù),從而相應(yīng)地帶來了關(guān)于控制這兩個參數(shù)的最優(yōu)控制問題的研究.在上面模型中,右端項u表示外部的負(fù)載或者作用

6、力,如何控制外力來改變板的位移和曲率等形變性質(zhì),根據(jù)不同的目標(biāo),我們可以建立多種最優(yōu)控制模型.
　　 對于四階偏微分方程,為了減少自由度,更加快速地求解,我們很自然地引入混合有限元離散格式.關(guān)于四階偏微分方程的混合有限元離散格式,已經(jīng)有了較多的研究,例如Ciarlet-Raviart混合元、Herrmann-Miyoshi混合元、Hellan-Herrmann-Johnson混合元等等,相關(guān)的文獻(xiàn)可見[11,25,26,28,5

7、1,63,68,71]等以及這些文章的參考文獻(xiàn).在眾多混合元格式中,Ciarlet-Raviart混合元離散格式的某些特殊性引起了我們的研究興趣.從已有的結(jié)果來看,Scholz在[71]中給出了雙調(diào)和方程分片線性Ciarlet-Raviart元離散格式的收斂性結(jié)果,對于這一問題的分片高次多項式Ciarlet-Raviart元離散格式,Babu(s)ka、Ciarlet等在文獻(xiàn)[7,28,37,68]中給出了相應(yīng)的收斂性分析.無論是線性的

8、還是高次的Ciarlet-Raviart元離散格式,我們發(fā)現(xiàn)在前人文獻(xiàn)中給出的理論結(jié)果中都有進(jìn)一步改善的空間,另一方面,對于Ciarlet-Raviart元離散格式的數(shù)值計算,據(jù)我們所知,尚沒有公開發(fā)表的結(jié)果,因此,改進(jìn)Ciarlet-Raviart元離散格式的誤差估計,以及通過數(shù)值實驗結(jié)果來驗證我們的理論,引起了我們的強烈研究興趣.鑒于在工程應(yīng)用中提出了受控于四階偏微分方程的最優(yōu)控制問題,將上面我們所提到的工作和最優(yōu)控制理論結(jié)合,無論

9、在理論難度上,還是在應(yīng)用的廣度和深度上,都將具有重要的研究意義.
　　 自適應(yīng)有限元方法在近些年來因其計算高效性,已經(jīng)成為科學(xué)與工程計算中的一個重要研究領(lǐng)域.自適應(yīng)方法的基本步驟是通過后驗誤差估計指示子對網(wǎng)格局部加密或者放疏,更加有效地求得數(shù)值解.關(guān)于誤差估計指示子的類型,有殘量型、分層基型、函數(shù)型等等,具體可見文獻(xiàn)[77]等.自適應(yīng)有限元方法在最優(yōu)控制問題中已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用,尤其在利用殘量型誤差指示子方面.而對于利用Ciar

10、let-Raviart元離散雙調(diào)和方程控制問題的后驗誤差估計,相關(guān)的工作較少.Charbonneau等學(xué)者在文獻(xiàn)[22]中給出了分片2次Ciarlet-Raviart元離散的雙調(diào)和方程后驗誤差估計,他們得到了次最優(yōu)的殘量型誤差指示子.而對于分片線性Ciarlet-Raviart元離散,卻得不到類似的結(jié)果.本文中,我們利用類似的方法分析分片線性Ciarlet-Raviart元離散的雙調(diào)和方程最優(yōu)控制問題,在一個修正的范數(shù)意義下,得到了最優(yōu)

11、的后驗誤差估計子.
　　 在石油工程領(lǐng)域,油藏模擬專家采用質(zhì)量守恒和動量守恒方程組來描述地下油、水、汽以及聚合物等化學(xué)物質(zhì)在多孔介質(zhì)中的運移過程,這一類的方程往往涉及到大量耦合的非線性橢圓、拋物方程組,在數(shù)值模擬上有很大的難度.目前國內(nèi)的大多數(shù)油田仍主要采用注水驅(qū)油的二次采油方式,尤其是國內(nèi)的主力油田,基本已經(jīng)進(jìn)入二次采油的后期階段,甚至已經(jīng)開始進(jìn)入三次采油階段.這個時候,對于二次采油的方式,往往注入大量的水,只能采出少量的油.

12、我們知道,出于減少對管道的腐蝕等方面的考慮,油田采油所用的水質(zhì)要求非常高,需要經(jīng)過多次凈化提純加工等程序,而優(yōu)質(zhì)水的大量注入,所花費的生產(chǎn)成本是值得我們考慮的.如何利用最少的水,采出最多的油,提高采收率,是擺在油藏工作者面前的一大難題.對這一問題的研究,對于油田注水開發(fā)方案的設(shè)計以及實際的生產(chǎn),都將具有重要的指導(dǎo)意義.這一問題實際上就是要確定-個最優(yōu)控制策略,在數(shù)學(xué)上,可以歸結(jié)為受控于兩相流(或多相流)混溶(或不可混溶)驅(qū)動方程組的最優(yōu)

13、控制問題.對這一問題,國內(nèi)外的學(xué)者已經(jīng)有一些研究結(jié)果,如Brouwer和Jansen等學(xué)者在文獻(xiàn)[12]中研究了智能井的動態(tài)注水優(yōu)化控制模型,利用傳統(tǒng)的優(yōu)化的方法做了數(shù)值計算.
　　 本文對雙調(diào)和方程最優(yōu)控制問題和兩相不可混溶驅(qū)動方程組最優(yōu)控制問題做了部分研究工作.對于前者,我們首次對分布式控制受限和控制、狀態(tài)雙受限的雙調(diào)和方程控制問題進(jìn)行了混合元算法分析,給出了相應(yīng)的先驗誤差估計.其中對于分布式控制受限的情況,我們的創(chuàng)新之處在

14、于得到了新的收斂階,同時對于分片線性Ciarlet-Raviart元離散格式,得到了次最優(yōu)的后驗誤差估計,改進(jìn)了前人的結(jié)果.這一方面的部分結(jié)果已經(jīng)發(fā)表在Journal of Computationaland Applied Mathematics上.對于雙受限的情況,我們結(jié)合眾多文獻(xiàn)中的方法,第一次給出了該控制問題的收斂性結(jié)果和誤差估計,同時也給出了數(shù)值算例.對于后者,我們提出了最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)模型,第一次進(jìn)行了系統(tǒng)的有限元分析,證明了解

15、的存在性,推導(dǎo)出了先驗誤差估計,同時進(jìn)行了數(shù)值計算.
　　 全文共分三章,下面分別介紹一下各章的主要內(nèi)容.
　　 第一章,對于分布式控制受限的第一類雙調(diào)和方程控制問題,給出了Ciarlet-Raviart混合有限元離散格式,得出了連續(xù)的和離散的最優(yōu)性條件.對于分片線性Ciarlet-Raviart元離散,分析了先驗誤差估計和后驗誤差估計.在先驗估計的推導(dǎo)中,通過改進(jìn)一個Riesz投影逼近的誤差估計,得到了有限元解更高階的

16、誤差收斂精度；在推導(dǎo)后驗誤差估計過程中,對于一個修正的范數(shù),得到了等價的后驗誤差估計子.本章中,對于控制問題,我們同時分析了分片高次Ciarlet-Raviart元逼近的先驗誤差估計,在某個正則性假定下,也得到了更好的誤差收斂精度.每一部分估計的最后,我們都通過幾個數(shù)值實驗證明了我們的結(jié)論.
　　 第二章,對于控制點態(tài)、狀態(tài)積分雙受限的第一類雙調(diào)和方程控制問題,進(jìn)行了數(shù)值分析.同樣地,我們用Ciarlet-Raviart混合元對

17、方程中的狀態(tài)變量進(jìn)行離散,得出了連續(xù)的和離散的最優(yōu)性條件,同時,結(jié)合[17,61,84]等文獻(xiàn)的方法,再應(yīng)用第一章中得到的部分結(jié)論,我們給出了該控制問題的先驗誤差估計,并做了數(shù)值模擬.
　　 第三章,我們對于油田注水采油優(yōu)化設(shè)計問題,提出了一類受控于兩相不可壓縮不可混溶驅(qū)動方程組的最優(yōu)控制問題數(shù)學(xué)模型,并進(jìn)行了數(shù)值分析.這一課題是在羊丹平教授和劉文斌教授指導(dǎo)下,在課題組孫同軍老師和杜寧老師幫助下,常延貞師姐和我參與完成的,其中部