Tikhonov正則化參數(shù)的選取及兩類反問題的研究.pdf

1、數(shù)學(xué)物理反問題往往是不適定的，或者說是不穩(wěn)定的．此時，若直接求解反問題，則測量數(shù)據(jù)的微小誤差將引起解的急劇變化，而導(dǎo)致所求得的解毫無實際應(yīng)用價值。為獲得反問題穩(wěn)定而有效的解，則需要利用正則化方法來求解反問題，例如著名的Tikhonov正則化方法．對不適定問題的正則化方法的研究一直是應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的一個重要研究方向，它強(qiáng)大的生命力源于科學(xué)與工程領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用．實際上，不適定問題的正則化方法是否有效和成功，直接依賴于正則化參

2、數(shù)的有效選取．在實際計算中，若僅僅靠經(jīng)驗和先驗信息選取正則化參數(shù)，這無論從計算代價還是理論研究角度來說都是不能令人滿意的．本文圍繞不適定問題的正則化參數(shù)的選取方法及其應(yīng)用展開研究，由以下六個部分組成：
　　 第一章，介紹了線性不適定問題和正則化方法的基本概念，概述了正則化參數(shù)選取及其應(yīng)用領(lǐng)域的研究動態(tài)和國內(nèi)外研究進(jìn)展，并在此基礎(chǔ)上闡明了本文的研究目的、主要研究內(nèi)容和主要創(chuàng)新點．
　　 第二章，基于吸收的Morozov偏差

3、原理，研究了Tikhonov正則化下的單個正則化參數(shù)選取的模型函數(shù)方法．當(dāng)利用吸收Morozov偏差原理確定正則化參數(shù)時，主要困難之一就是如何有效地求解非線性的Morozov偏差方程。在這一章中，我們提出了三種新的模型函數(shù)，它們分別是線性模型函數(shù)、指數(shù)型模型函數(shù)、對數(shù)型模型函數(shù)；在此基礎(chǔ)上，建立了確定正則化參數(shù)的模型函數(shù)基本算法及其改進(jìn)算法，這些算法都是求解一個具有顯式表達(dá)式的近似Morozov偏差方程，并證明了算法的全局收斂性；最后，

4、數(shù)值例子的計算結(jié)果表明所提出的模型函數(shù)算法是有效的．
　　 第三章，進(jìn)一步研究了多正則化參數(shù)的Tikhonov正則化中正則化參數(shù)選取的模型函數(shù)方法，獲得了多正則化參數(shù)的Tikhonov正則化解的收斂性結(jié)論，基于吸收的Morozov偏差原理提出了多變量雙曲型、線性、指數(shù)型與對數(shù)型模型函數(shù)，給出了選取多正則化參數(shù)的模型函數(shù)算法及其改進(jìn)的和實用型的模型函數(shù)算法．?dāng)?shù)值算例表明基于線性模型函數(shù)和指數(shù)型模型函數(shù)的多正則化參數(shù)選取算法是值得采

5、用的．
　　 第四章，基于正則化參數(shù)選取的模型函數(shù)方法，研究了由單個入射聲波或電磁波及其遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)反演多個柔性散射體邊界的逆散射問題．通過建立邊界到邊界總場的非線性算子及其Fréchet導(dǎo)數(shù)，給出了基于單層位勢的組合Newton法，進(jìn)一步將組合Newton法轉(zhuǎn)化為泛函優(yōu)化問題，從而獲得了該方法重建單個散射體的收斂性分析．然后，基于正則化參數(shù)選取的模型函數(shù)方法和遺傳算法，給出了組合Newton法重建多個散射體的數(shù)值實現(xiàn)方法．最后，給

6、出了三個數(shù)值例子，它們分別是重建單個、兩個和三個聲柔散射體．
　　 第五章，考慮了三類拋物型方程(組)的源項反演問題，分別是單個方程的有限流域模型、單個方程的無限流域模型和方程組的有限流域模型，它們都與流域點污染源的探測直接相關(guān)，這里點污染源的數(shù)學(xué)表示為λ(t)δ(x-s)，其中δ(x-s)是廣義函數(shù)函數(shù)中的狄拉克函數(shù)，δ表示點源位置，λ(t)表示點污染源的強(qiáng)度．本章通過解析函數(shù)延拓的惟一性和Titchmarsh卷積定理等方法，