求解一類非線性拋物型方程的局部一維化方法.pdf

1、偏微分方程數(shù)值解的理論和方法是計算數(shù)學研究領域中非常具有挑戰(zhàn)性的課題，隨著計算機技術的日益發(fā)展，通過數(shù)值計算求解實際物理過程中的數(shù)學模型，越來越成為國內(nèi)外科研發(fā)展的前沿。而拋物型方程作為一類重要的偏微分方程，其理論研究和解法近年來逐漸趨于成熟，這使得其在各大學科領域的研究和應用更為廣泛。目前求解此類方程，常采用有限差分法進行離散，由于其簡單直觀、易于操作等優(yōu)點，在眾多方法中占有十分關鍵的地位。其中，顯格式計算方便且容易實現(xiàn)，但精度低且不

2、能保證穩(wěn)定性;隱格式雖與顯格式相比穩(wěn)定性更好，但在實際數(shù)值模擬過程中，往往需要計算高維或非線性方程，其在處理高維問題時導致計算量較大。
　　本文主要考慮如下的非線性拋物型方程（組）:(6)u/(6t)=▽(a（x,y,z，t，u)▽u)+f(x,y,z,t，u)，x,y，z∈Ωt＞0
　　對于此方程（組）的初邊值問題，在多數(shù)情況下解決的是a≠a(u)的情形，即a與u無關，但在本文主要討論a=a(u）的情形，即a與u相關。本文

3、主要采用由Dyakonov和Yanenko提出的局部一維化方法（簡稱LOD），此方法主要用于求解高維方程，但由于非線性問題的固有特性，非線性項難以處理且其過渡層的值是難以確定的，使得求解過程困難，即使給出一些簡化方法，計算精度也會受到影響。針對上述的一系列問題，本文在已有的LOD方法的基礎上進行改造，提出了對于非線性項a(u）的兩種處理方法，相比以往文獻中所給的方法，本文所構造出的差分格式具有計算量較少，誤差易于掌握，程序不難實現(xiàn)等優(yōu)點

4、。
　　文章的主要內(nèi)容安排如下:
　　第一部分，介紹非線性拋物型方程的研究背景及意義，以及現(xiàn)有的求解此類方程的理論和方法。第二部分，介紹一些關于幾種差分格式的相關內(nèi)容。第三部分，介紹局部一維化格式，給出了其離散過程，并針對線性拋物型方程進行了截斷誤差與穩(wěn)定性分析，數(shù)值計算的結果也表明了方法的有效性。第四部分，介紹針對非線性拋物型方程的非線性項a(u）的兩種處理方法，此部分是對上一部分的結果做了進一步的改進，并給出兩組數(shù)值實驗