映射級數(shù)序列賦值收斂的最強(qiáng)意義及矩陣變換的研究.pdf

1、本文主要研究了映射級數(shù)向量序列賦值收斂及矩陣變換等問題.
　　1．簡要地介紹了與本文相關(guān)或相近的研究領(lǐng)域的發(fā)展過程及其現(xiàn)狀.
　　2．對于Banach空間X上的古典向量序列空間lp(X)(p＞0)、l∞(X)及c0(X)，本文分別定義了一類重要子集：一致耗盡集；本性有界集；一致消失集.設(shè)λ(X)∈{lp(X),l∞(X),c0(X)}(p＞0)，M[λ(X)]為λ(X)的上述子集構(gòu)0成的集族.利用M[λ(X)]，我們得到了映

2、射級數(shù)的λ(X)-賦值收斂的最強(qiáng)意義：對任意的準(zhǔn)范空間E及{Aj}真包含于EX，映射級數(shù)∑Aj(j=1,∞)的λ(X)-賦值收斂即∑Aj(xj)(j=1,∞)對每個(xj)∈λ(X)收斂等價于存在一些Σ真包含于2λ(X)使得S∈Σ時∑Aj(xj)(j=1,∞)關(guān)于(xj)∈S一致收斂，如λ(X)的有限子集族,λ(X)的全有界子集族等，M[λ(X)]恰好就是這種Σ中最大的.對λ(X)-賦值收斂的映射級數(shù)∑Aj(j=1,∞)及S真包含于λ(

3、X)，判斷∑Aj(xj)(j=1,∞)是否關(guān)于(xj)∈S一致收斂顯然有重要的理論意義和應(yīng)用前景.本文結(jié)論對λ(X)∈{lp(X),l∞(X),c0(X)}(p＞0)找出使∑Aj(xj)(j=1,∞)關(guān)于(xj)∈S一致收斂的全部S真包含于λ(X)，其理論意義實屬重要，應(yīng)用前景也明顯.特別是，本文結(jié)論完全去掉了通常對映射的線性限制，其理論意義重大又大大增加了應(yīng)用的可能性.
　　在對映射（線性映射為特例）作成的級數(shù)與矩陣的研究中，李

4、容錄給出了典型的有效方法，得到有關(guān)映射級數(shù)的一個非常抽象、非常基本和極具普遍性的命題并利用它開發(fā)出一種拓?fù)鋵W(xué)方法，竟然獲得了局部凸空間不含c0的鮮明刻劃.這充分說明映射級數(shù)的研究有實實在在的應(yīng)用.本文結(jié)果是映射級數(shù)理論的重要組成部分.
　　3．對于向量序列空間λ(X)∈{lp(X),l∞(X),c0(X)}(p＞0)，M[λ(X)](分別代表一致耗盡集族、本性有界集族和一致消失集族.)是λ(X)中一個較大的子集族，它包括了λ(X)

5、的全部全有界集和許多非全有界集.于是本文得到如下結(jié)論：首先，由Orlicz-Pettis定理及映射級數(shù)的λ(X)-賦值收斂的最強(qiáng)意義，對于λ(X)-賦值收斂的映射級數(shù)而言，在λ(X)上逐點(diǎn)弱收斂當(dāng)且僅當(dāng)在λ(X)的每個全有界集上一致收斂；其次，對于序列對偶空間[λ(X)]βY（它是通常的Kothe-Toeplitzβ對偶空間λ(X)β的實質(zhì)性擴(kuò)張），給出了[λ(X)]βY中點(diǎn)列在λ(X)上逐點(diǎn)收斂的刻劃.再次，利用李容錄的新泛函分析基本

6、原理，給出了由解剖映射（它包括了全部線性映射和更多非線性映射）序列構(gòu)成的[λ(X)]βY中點(diǎn)列在λ(X)上逐點(diǎn)收斂的更強(qiáng)內(nèi)涵.這些結(jié)論實質(zhì)上是抽象對偶系統(tǒng)中關(guān)于映射級數(shù)向量序列賦值收斂的一些不變性結(jié)果，是不變性理論的重要組成部分.
　　4．對于Banach空間X上的一類經(jīng)典向量序列空間bv0(X)(bv0(X)代表收斂于零的有界變差向量序列全體)，本文確定了一類重要的子集稱為一致有界變差集，其全體記為Μ[bv0(X)]，它包括了b

7、v0(X)的全部全有界集及許多非全有界集.對于向量序列空間λ(X)∈{lp(X),l∞(X),c0(X),bv0(X)}(p＞0)，M[λ(X)]分別代表一致耗盡集族、本性有界集族、一致消失集族和一致有界變差集族.利用Antosik-Mikusinski基本矩陣定理及M[λ(X)]，對{f∈YX:f(0)=0}中映射矩陣(fij)i,j∈□，本文獲得了一系列矩陣變換定理，給出了矩陣族(λ(X),c(Y))的刻劃.
　　1993年，

8、李容錄和Swartz獲得了非線性矩陣變換定理，打破了一百年來只研究線性算子矩陣（從而矩陣變換也是線性變換，又標(biāo)量矩陣也是線性變換）的局限性,從而開辟了非線性矩陣變換研究的新領(lǐng)域，這也是今后矩陣變換理論的一個主要研究內(nèi)容.本章的結(jié)果是李容錄和Swartz研究成果的補(bǔ)充和完善，有著重要的理論與實際意義.
　　本文的所有結(jié)果都是處理映射級數(shù)，但所有結(jié)果中所涉映射都不必是線性的.這是本文結(jié)果的兩個最大理論價值之一，也是對應(yīng)用前景的最明顯的