Euclid環(huán)及其推廣.pdf

1、本文在第一章中對一般代數(shù)學(xué)中的Euclid整環(huán)概念進(jìn)行推廣，定義了弱Euclid環(huán)和Euclid模.本章分三部分.第一部分首先討論了Euclid模的基本性質(zhì).我們看到Euclid模的子模都是循環(huán)模.但循環(huán)模未必是Euclid模，我們給出具體的例子說明Euclid模是循環(huán)模的一類真子模.同時也證明了Euclid模的子模和同態(tài)象仍是Euclid模，但反之不然，對此也有具體的反例. 在第二部分主要討論弱Euclid環(huán)和Euclid模的

2、自同態(tài)環(huán)，并通過循環(huán)模對弱Euclid環(huán)進(jìn)行了刻畫，證明了交換環(huán)R是弱Euclid環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對每個循環(huán)R-模M，End(RM)是弱Euclid環(huán).作為該結(jié)果的推論，我們得到左弱Euclid環(huán)左整體維數(shù)的一個有趣刻畫.若環(huán)R為左弱Euclid環(huán)，則LgdR=Sup{PdN｜N為Euclid R-模}. 第三部分主要討論無撓的Euclid模.無撓的Euclid模有很多好的性質(zhì).我們證明了無撓的Euclid R-模必為投射模，一致模，

3、Dedekind模和乘法模. 第二章中定義了環(huán)的E-理想的的概念。它是一類介于極小理想和主理想之間的理想.繼而相繼引入E-內(nèi)射模，E-投射模，E-遺傳環(huán)，E-平坦模，E-正則環(huán)和E-凝聚環(huán)等概念，并給出一系列等價刻畫.首先證明了E-內(nèi)射模不僅對直積保持封閉，而且對直和也保持封閉.與內(nèi)射模的情形類似，我們也可以用擴(kuò)張函子Ext來刻畫E-內(nèi)射模.在左E-遺傳環(huán)R上，E-內(nèi)射模的商模還是E-內(nèi)射的.同時利用E-內(nèi)射模來定義模的E-內(nèi)射

4、維數(shù)和環(huán)的E-整體維數(shù)，在該定義下，左E-遺傳環(huán)的左E-整體維數(shù)≤1.其次，我們用Tor函子刻畫了E-平坦模，證明了R-模M是E-平坦的當(dāng)且僅當(dāng)它的特征模M*是E-內(nèi)射的.接下來證明了E-平坦模的純子模以及直和仍為E-平坦模.我們看到左E-正則環(huán)上的任何左R-模都為E-內(nèi)射模和任何右R-模均為E-平坦模.同時還給出了E-凝聚環(huán)的若干等價刻畫.最后定義了E-內(nèi)射環(huán)，并討論了它的一些基本性質(zhì).特別地，證明了若環(huán)R既是右弱Euclid環(huán)又是右