廣義凸集值優(yōu)化問題的最優(yōu)性.pdf

1、集值優(yōu)化問題廣泛存在于參數(shù)優(yōu)化、控制論、非光滑分析、不動點(diǎn)理論、變分學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個領(lǐng)域，是目前應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中備受關(guān)注的熱點(diǎn)之一.對這一問題的研究涉及到集值分析、凸分析、線性與非線性分析、非光滑分析、拓?fù)湎蛄扛?、偏序理論、抽象空間中的幾何理論等數(shù)學(xué)分支，有重要的學(xué)術(shù)價值和相當(dāng)?shù)碾y度.從數(shù)學(xué)上講，這一問題可歸結(jié)為集值映射的極值問題.而刻畫極值點(diǎn)特征的最優(yōu)性條件是其核心內(nèi)容之一，是建立集值優(yōu)化方法必不可少的理論基礎(chǔ)，也是集值優(yōu)化理論的難

2、點(diǎn)問題. 如所周知，函數(shù)的凸性與廣義凸性在優(yōu)化理論及其應(yīng)用中占有重要地位.在研究集值優(yōu)化問題時，集值映射的凸性和廣義凸性同樣起著非常重要的作用.不少學(xué)者針對集值映射引入和推廣了各種廣義凸性.另一方面，有效性是集值向量優(yōu)化的基本概念和核心問題.向量優(yōu)化問題標(biāo)量化是研究向量優(yōu)化理論的一種基本方法.由于(弱)有效解范圍較大，收縮解的范圍成為向量優(yōu)化研究的主要課題之一.為了標(biāo)量化和收縮解的范圍，人們引入了各種真有效性的概念. 本

3、文在集值映射的各種廣義凸性假設(shè)下，基于不同的拓?fù)淇臻g結(jié)構(gòu)，建立集值優(yōu)化問題各種有效解在Lagrange乘子、次微分(次梯度)、支撐函數(shù)、標(biāo)量化、鞍點(diǎn)等條件下的最優(yōu)性及其對偶性.具體結(jié)果可歸結(jié)如下·兩個集合的分離或接觸是定義一些有效性的基本方法，受這一思想的啟發(fā)，討論了廣義鞍點(diǎn)的集分離性質(zhì)；在集值映射的近似錐-次類凸性假設(shè)下，在局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，得到了約束集值優(yōu)化問題的強(qiáng)有效解為廣義鞍點(diǎn)的充分必要條件；給出了約束集值優(yōu)

4、化問題的一種對偶模型，并且得到了關(guān)于強(qiáng)有效解的強(qiáng)、弱對偶定理. ·在集值映射的錐-凸性假設(shè)下，在實(shí)賦范線性空間，討論了以下兩方面問題：一是結(jié)合Contingent上圖導(dǎo)數(shù)和全局真有效性的定義，引進(jìn)了集值映射在算子形式下的廣義全局真有效次梯度和次微分的概念，討論了廣義全局真有效次微分的存在性，并得到了無約束集值優(yōu)化問題全局真有效解在次微分條件下的最優(yōu)性；二是直接利用(弱)全局真有效點(diǎn)集的概念，定義了約束集值優(yōu)化問題的(弱)全局真有

5、效次梯度和次微分，并得到了在(弱)全局真有效次微分下，由集值映射的支撐函數(shù)和Lagrange乘子所刻畫的約束集值優(yōu)化問題(弱)全局真有效解的最優(yōu)性必要條件. ·在局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，在近似錐-次類凸條件下證明了嚴(yán)有效性和強(qiáng)有效性的等價性，從而推廣了嚴(yán)有效點(diǎn)集和強(qiáng)有效點(diǎn)集對凸集而言相等的結(jié)果；通過引進(jìn)標(biāo)量Lagrange映射，給出了廣義鞍點(diǎn)的等價定義和基本性質(zhì)，建立了約束集值優(yōu)化問題嚴(yán)有效解的廣義鞍點(diǎn)定理和一種對

6、偶規(guī)劃，證明了嚴(yán)有效意義下的強(qiáng)、弱對偶定理. ·在實(shí)賦范線性空間和集值映射的錐-凸性假設(shè)下，首先引進(jìn)集值映射相對于給定向量的泛函型錐-Henig真有效次微分的概念，并討論了其存在性問題，建立了無約束集值優(yōu)化問題Henig真有效解在泛函型次微分條件下的最優(yōu)性；其次，討論了控制錐、目標(biāo)映射和約束映射同時受擾動的集值優(yōu)化問題Henig真有效解的次微分穩(wěn)定性問題. ·在集值映射最新的廣義凸性(稱之為Sach錐凸性)條件下，在局部