集值優(yōu)化最優(yōu)性條件與穩(wěn)定性問(wèn)題的研究.pdf

1、集值優(yōu)化理論在不動(dòng)點(diǎn)、變分學(xué)、微分包含、最優(yōu)控制、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是目前應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中備受關(guān)注的熱點(diǎn)之一.對(duì)這一問(wèn)題的研究涉及到集值分析、凸分析、線性與非線性分析、非光滑分析、拓?fù)湎蛄扛?、偏序理論等?shù)學(xué)分支，有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和相當(dāng)?shù)碾y度. 集值優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件和穩(wěn)定性在集值優(yōu)化理論中占有重要的地位.最優(yōu)性條件是建立現(xiàn)代優(yōu)化算法的重要基礎(chǔ)；穩(wěn)定性是優(yōu)化理論的重要組成部分，向量?jī)?yōu)化的穩(wěn)定性通過(guò)研究各種適定性取得了

2、豐富的結(jié)果.但是，關(guān)于研究集值優(yōu)化問(wèn)題的穩(wěn)定性的文獻(xiàn)很少見(jiàn)到(HuangX.X.僅研究無(wú)約束參數(shù)集值優(yōu)化問(wèn)題在上半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性).本文主要對(duì)集值優(yōu)化問(wèn)題的各種有效性的最優(yōu)性條件及集值優(yōu)化問(wèn)題的有效解集和有效點(diǎn)集的穩(wěn)定性進(jìn)行了較為深入的研究.文章通過(guò)集值映射的導(dǎo)數(shù)、廣義梯度及集值優(yōu)化問(wèn)題的鞍點(diǎn)刻畫(huà)集值優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件；并且集中研究集值優(yōu)化問(wèn)題的有效解集在各種上半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性及有效點(diǎn)集在次微分意義下的穩(wěn)定性.具體內(nèi)容如下：●

3、一方面，在賦范空間中，討論集值優(yōu)化問(wèn)題的有效元的導(dǎo)數(shù)型最優(yōu)性條件.給出了可微Γ-擬凸集值映射的概念.當(dāng)目標(biāo)映射和約束映射的下方向?qū)?shù)存在時(shí)，在近似錐次類(lèi)凸假設(shè)下利用有效點(diǎn)的性質(zhì)和凸集分離定理得到了集值優(yōu)化問(wèn)題有效元的導(dǎo)數(shù)型Kuhn-Tucker必要條件；在可微Γ-擬凸性的假設(shè)下得到Kuhn-Tucker最優(yōu)性充分條件；此外利用集值映射沿弱方向錐的導(dǎo)數(shù)特性給出有效解最優(yōu)性的另一種刻畫(huà).另一方面，在局部凸拓?fù)湎蛄靠臻g，利用DinhT.L.給

4、出的集值映射的下半可微性定義了集值映射的導(dǎo)數(shù).在凸性及擬凸性的假設(shè)下，利用凸集分離定理得到了集值優(yōu)化問(wèn)題的超有效元導(dǎo)數(shù)型Kuhn-Tucker最優(yōu)性充分和必要條件. ●在局部凸拓?fù)湎蛄靠臻g中，利用強(qiáng)鞍點(diǎn)和嚴(yán)鞍點(diǎn)刻畫(huà)了集值優(yōu)化問(wèn)題的強(qiáng)有效元與嚴(yán)有效元的最優(yōu)性條件.首次定義了集值優(yōu)化問(wèn)題的強(qiáng)鞍點(diǎn)和嚴(yán)鞍點(diǎn)，給出了強(qiáng)鞍點(diǎn)和嚴(yán)鞍點(diǎn)的等價(jià)刻畫(huà)；在一定凸性條件下，通過(guò)凸集分離定理及強(qiáng)鞍點(diǎn)、嚴(yán)鞍點(diǎn)的性質(zhì)分別得到了強(qiáng)鞍點(diǎn)和嚴(yán)鞍點(diǎn)的最優(yōu)性條件；考慮

5、了Lagrange型對(duì)偶問(wèn)題，分別給出了強(qiáng)有效、嚴(yán)有效意義下的弱對(duì)偶、逆對(duì)偶、強(qiáng)對(duì)偶定理，并得到了分別由強(qiáng)鞍點(diǎn)、嚴(yán)鞍點(diǎn)刻畫(huà)的強(qiáng)有效元、嚴(yán)有效元的最優(yōu)性條件. ●在錐偏序的Banach空間中，討論由廣義梯度刻畫(huà)的集值優(yōu)化問(wèn)題嚴(yán)有效元、超有效元的最優(yōu)性條件.應(yīng)用上圖Contingent導(dǎo)數(shù)，對(duì)集值映射分別引入在嚴(yán)有效和超有效意義下的廣義梯度.在一定的條件下，借助錐分離定理分別證明了嚴(yán)有效意義下的廣義梯度和超有效意義下的廣義梯度的存在

6、性，并且給出了嚴(yán)有效意義下廣義梯度的性質(zhì)，得到了由廣義梯度刻畫(huà)的集值優(yōu)化問(wèn)題的嚴(yán)有效解和超有效解的最優(yōu)性條件. ●討論集值優(yōu)化問(wèn)題的適定性及該問(wèn)題的有效解集在半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性.在度量空間中，首次提出集值優(yōu)化問(wèn)題點(diǎn)態(tài)適定的概念，給出集值優(yōu)化問(wèn)題點(diǎn)態(tài)適定的等價(jià)刻畫(huà)，并驗(yàn)證一類(lèi)集值優(yōu)化問(wèn)題是點(diǎn)態(tài)適定的，得到集值映射的Ekeland變分原理；同時(shí)提出集值優(yōu)化問(wèn)題B-適定的概念，利用漸近極小序列刻畫(huà)了B-適定性，證明一個(gè)B-適定的集值

7、優(yōu)化問(wèn)題的任意極小集序列在定義域空間的投影收斂到該問(wèn)題的有效解集，最后得到參數(shù)集值優(yōu)化問(wèn)題在上Hausdoff半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性. ●在賦范空間中討論集值優(yōu)化問(wèn)題在半連續(xù)及錐次微分意義下的穩(wěn)定性.分別在超有效和嚴(yán)有效意義下定義了集值映射的次微分，在一定的條件下，利用錐分離定理證明次微分的存在性及其性質(zhì)；考慮控制錐擾動(dòng)以及控制錐、約束集、目標(biāo)映射三者同時(shí)擾動(dòng)時(shí)，集值優(yōu)化問(wèn)題在錐超次微分意義下的穩(wěn)定性及在上半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性；給