非柱形區(qū)域上兩類發(fā)展方程解的長時間行為研究.pdf

1、隨著社會的發(fā)展與科技的進步,在物理學、生物學、控制論等學科領域涌現(xiàn)出越來越多的非柱形區(qū)域問題.由于此類問題非自治的固有性以及非自治動力系統(tǒng)發(fā)展的滯后性,關于其動力學行為的研究至今還比較少.本文針對兩類具體的非柱形區(qū)域上的復Ginzburg-Landau(CGL)方程與非線性弱耗散波方程解的動力學行為進行了研究.
　　首先,本文對同胚區(qū)域上的CGL方程與非線性弱耗散波方程解的適定性及其動力學行為進行了研究.主要包括:(1)借助于同胚

2、變換以及新建立的一些重要的不等式,證明此兩類方程強解的存在唯一性.(2)選擇合適的函數(shù)空間給出弱解的定義,并證明弱解的存在唯一性.(3)分別建立兩類系統(tǒng)的拉回吸引子.由于區(qū)域變化以及方程本身的特性帶來的困難,分別運用有限ε–網(wǎng)與收縮函數(shù)的思想方法來證明CGL方程與弱耗散波方程的漸近緊性.以上問題的研究構成本文第三章與第五章的主要內容.同時,引入了一些新的方法與技巧建立系統(tǒng)的拉回吸引子,降低了現(xiàn)有方法(如[67,102])對區(qū)域變化的要求

3、.在第五章中,還建立了有效的判定準則來研究同胚區(qū)域波方程能否保持雙曲性的問題.
　　其次,本文研究了單調區(qū)域上的CGL方程解的適定性及其動力學行為.研究單調區(qū)域上發(fā)展方程的經(jīng)典方法是“懲罰法”.然而,由于CGL方程本身的復值性及非線性性等特征,現(xiàn)有的懲罰函數(shù)無法應用于CGL方程的研究.結合已有的懲罰函數(shù)及CGL方程的特點,本文給出了一種新型的懲罰函數(shù).特別地,此類懲罰函數(shù)對于研究其他非柱形區(qū)域問題,如波方程的單調區(qū)域問題將起到積極

4、促進作用.同時,沿用S.Bonaccorsi[14]等引入的“選擇”的思想,本文證明了變分解的唯一性.然后,利用無窮維動力系統(tǒng)的一些思想方法證明系統(tǒng)存在緊的拉回吸收集,進而建立此類非自治動力系統(tǒng)的拉回吸引子.此亦為第四章的主要內容.
　　最后,基于所取得的研究成果及當前的研究現(xiàn)狀,列出將要研究的部分問題.
　　本文的研究不但豐富了無窮維動力系統(tǒng)的相關內容,而且針對具體問題所引入的一些新的思想方法亦將為非柱形區(qū)域問題的后續(xù)研究