求解非線性不適定問題的幾種雙參數(shù)Newton型正則化方法.pdf

1、本文主要研究非線性反問題和不適定問題的求解。許多實際應用領域常歸結(jié)為非線性反問題的求解，比如說參數(shù)識別問題，反散射問題，逆Sturm-Liouville問題以及非線性第一類Fredholm方程的求解問題等。目前，關(guān)于線性反問題和不適定問題的理論工作已經(jīng)相對比較完善，在實際應用中也取得良好效果，而非線性反問題和不適定問題的理論和實踐都還有許多需要完善的地方，而且非線性不適定問題的理論工作開展的少，相互借鑒的地方有限。非線性不適定問題研究的

2、難點在于它的非線性性、不適定性、及無限維性。求解問題的關(guān)鍵是如何構(gòu)造正則化算子，如何構(gòu)造參數(shù)選取準則使方法成為收斂的正則化方法。 本文主要給出了幾種帶雙參數(shù)的Newton-型正則化方法。首先給出了Newton-隱式迭代法，此時內(nèi)層的正則化參數(shù)為內(nèi)迭代步數(shù)，由Hanke準則來確定。接著，給出了一種帶雙正則化參數(shù)的Newton型方法，雙正則化參數(shù)由修正Hanke準則確定，并證明了帶雙參數(shù)算法的收斂性和穩(wěn)定性。上述的Newton-隱式

3、迭代法可以看作這種帶雙正則化參數(shù)Newton型方法的一種特殊情況。數(shù)值例子顯示了算法的有效性。但由Hanke準則確定正則化參數(shù)的方法還不能證明迭代解的收斂速率。 其次，把Tikhonov正則化方法應用到該線性化方程，然后利用Samanskii思想把一步Newton迭代與多步簡化Newton迭代相結(jié)合，便得到了求解非線性不適定問題的帶雙參數(shù)漸近簡化牛頓方法，此時兩個參數(shù)比值由Bakushinskii準則來確定。在外迭代，首先采用了

4、先驗選取準則確定迭代次數(shù)，分析了近似解的收斂性，在適當?shù)脑礂l件等假設下，得到了近似解的按階最優(yōu)收斂速率。 再次，在沒有先驗的光滑性信息情況下，為了獲得最優(yōu)收斂速率，利用先驗選取準則則變得不再實用，而利用不僅依賴于誤差界δ而且依賴于擾動數(shù)據(jù)γ<'δ>的后驗停止準則是必要的。接著我們就引進了Kaltcnbacher型后驗停止準則和Lepskjj型后驗停止準則，在Kaltenbacher型后驗終止準則中，只能給出v ∈(0，1/2]時

5、的最優(yōu)收斂速率，在此終止準則條件下，為了獲得v>1/2時的收斂速率，必須對非線性算子的非線性性假設加強，而這個加強的條件在實際問題中幾乎不能驗證。為克服此困難，引入了Lepskij型后驗停止準則，給出了v ∈(0，1/2] ∪ N時的最優(yōu)速率證明。 最后，值得一提的是，由于非線性不適定問題求解的難點之一是內(nèi)層正則化參數(shù)的選取，針對此問題，在最后一章我們提出了一種新的內(nèi)層正則化參數(shù)的選取準則，它能更好地擬合線性化方程右端項的誤差水