保險(xiǎn)和行為金融中的均值-方差最優(yōu)控制問(wèn)題.pdf

1、隨著金融和保險(xiǎn)市場(chǎng)的發(fā)展，風(fēng)險(xiǎn)理論已經(jīng)成為金融數(shù)學(xué)和保險(xiǎn)精算中的重要研究方向之一，金融風(fēng)險(xiǎn)管理是指公司利用金融工具來(lái)管理其風(fēng)險(xiǎn)，金融風(fēng)險(xiǎn)可以用一定的數(shù)學(xué)模型來(lái)量化，金融風(fēng)險(xiǎn)控制的核心是在什么時(shí)候以怎樣的方式來(lái)通過(guò)金融衍生產(chǎn)品控制公司運(yùn)營(yíng)過(guò)程中產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)。
　　 投資理論是研究投資者在一定的目標(biāo)下選擇什么樣的策略對(duì)自己的資產(chǎn)進(jìn)行投資的理論．它包括投資組合選擇理論，標(biāo)的資產(chǎn)定價(jià)模型，套利定價(jià)理論，有效市場(chǎng)假設(shè)等，其中投資組合選擇理論

2、是指通過(guò)選擇一定的資產(chǎn)配置方案，對(duì)于給定的投資組合風(fēng)險(xiǎn)以最大化投資組合的期望收益為目標(biāo)，或者對(duì)于給定的期望收益以最小化投資組合的風(fēng)險(xiǎn)為目標(biāo)．
　　 基于上面的背景以及風(fēng)險(xiǎn)分析在金融和保險(xiǎn)中越來(lái)越重要的地位，我的博士論文主要致力于以下三方面問(wèn)題的研究．首先是保險(xiǎn)中的均值-方差最優(yōu)投資問(wèn)題，其次是行為金融學(xué)中的均值-方差投資組合選擇問(wèn)題，最后是投資連結(jié)壽險(xiǎn)合同的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題。我的博士論文的目標(biāo)在于建立與實(shí)際問(wèn)題更貼近的數(shù)學(xué)模型，并盡

3、可能的對(duì)最優(yōu)問(wèn)題給出明確解，以使得最終的結(jié)果對(duì)實(shí)踐能起到一個(gè)很好的指導(dǎo)作用，使得所得最優(yōu)策略具有可操作性，為了使結(jié)果更加直觀(guān)，容易理解，我們給出一些具體的數(shù)值例子以及圖表來(lái)直觀(guān)地說(shuō)明我們的結(jié)論．下面將簡(jiǎn)要介紹各個(gè)章節(jié)的內(nèi)容。
　　 在第1章中，我們對(duì)保險(xiǎn)中的最優(yōu)投資問(wèn)題，均值-方差投資組合選擇，行為金融學(xué)，投資連結(jié)壽險(xiǎn)合同的對(duì)沖等的歷史背景以及研究現(xiàn)狀做一個(gè)簡(jiǎn)要回顧．
　　 在第2章中，我們研究了在均值，方差準(zhǔn)則下保險(xiǎn)人

4、的最優(yōu)投資問(wèn)題。包括多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)模型下的最優(yōu)投資問(wèn)題，賣(mài)空限制下的最優(yōu)投資和最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題，馬氏調(diào)節(jié)模型下的均值．方差最優(yōu)問(wèn)題，跳-擴(kuò)散金融市場(chǎng)模型下的均值-方差問(wèn)題，以及破產(chǎn)限制下的最優(yōu)投資及最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題．
　　 我們首先簡(jiǎn)單介紹第2章研究的背景以及我們要建立第2章的模型的原因。其次將介紹第2章各個(gè)小節(jié)研究的主要內(nèi)容，方法和結(jié)論．
　　 均值-方差投資組合選擇理論是由Markowitz(1952)[43]提出的，現(xiàn)在

5、已經(jīng)成為現(xiàn)代金融學(xué)中的重要理論基礎(chǔ)之一．均值-方差投資組合選擇理論是指通過(guò)一定的資產(chǎn)配置，使得投資組合在未來(lái)某一固定時(shí)刻的收益和風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到某種最優(yōu)．Markowitz(1952)[43]研究了單周期的均值-方差最優(yōu)投資組合的構(gòu)造，其中風(fēng)險(xiǎn)和收益分別通過(guò)投資組合的方差和數(shù)學(xué)期望來(lái)刻畫(huà)。Markowitz(1952)[43]首先給出了方差最小投資組合選擇問(wèn)題，即固定投資組合的數(shù)學(xué)期望，使得投資組合的方差達(dá)到最小，這樣得到的投資組合稱(chēng)為方差最小

6、投資組合．如果這個(gè)投資組合使得在所有與其方差相同的投資組合中達(dá)到期望最大，那么這個(gè)投資策略被稱(chēng)為有效策略（有效投資組合）．有效投資組合所產(chǎn)生的均值和方差在二維空間的集合稱(chēng)為有效前沿。從此，均值．方差準(zhǔn)則成為金融理論中衡量風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)重要準(zhǔn)則。見(jiàn)參考文獻(xiàn)Melton(1972)[47]等。在2000年以前，即隨機(jī)線(xiàn)性二次型控制(stochastic linear quadratic control)理論發(fā)展起來(lái)之前，關(guān)于均值一方差問(wèn)題的研究

7、主要局限于離散時(shí)間．之后，由于利用隨機(jī)線(xiàn)性二次型控制理論的知識(shí)，可以得到這類(lèi)問(wèn)題的顯式解，一系列文章開(kāi)始考慮連續(xù)時(shí)間Markowitz模型。參見(jiàn)Zhou and Li(2000)[70],Li,Zhou and Lira(2002)[35],Lim and Zhou(2002)[36]以及Bielecld etal.(2005)[6]等。
　　 最近幾年，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司可以在金融市場(chǎng)中進(jìn)行投資，保險(xiǎn)人對(duì)金融市場(chǎng)的最優(yōu)投資問(wèn)題受到越

8、來(lái)越多的關(guān)注．最先研究這類(lèi)問(wèn)題的是Browne(1995)[7]，其目標(biāo)是最大化終端資產(chǎn)的期望效用，效用函數(shù)是常數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)(expected constant absolute riskaversion(CARA) utiliW)．在Hipp and Plum(2000)[26]-文中，保險(xiǎn)人可以投資到一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中，目標(biāo)是最小化破產(chǎn)概率。之后，有一系列文章考慮不同準(zhǔn)則下和不同風(fēng)險(xiǎn)模型中，保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資問(wèn)題，如

9、Gaier et al．(2003)[21]和Wang，Xia and Zhang(2007)[64]等。Wang，Xia and Zhang(2007)[64]把均值-方差準(zhǔn)則應(yīng)用到保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資問(wèn)題中。他們假設(shè)保險(xiǎn)人可以投資到一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中，利用鞅方法得到了均值一方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資策略，受上述工作的啟發(fā)，在第2章中，我們將考慮均值．方差準(zhǔn)則下，保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資問(wèn)題．
　　 為了規(guī)避較大的風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)人經(jīng)常會(huì)

10、進(jìn)行再保險(xiǎn)。已經(jīng)有一些文章研究最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題，如Schmidli(2002)[55]，B(a)uerle(2005)[8]，Bai and Zhang(2008)[4]等．他們假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是復(fù)合Poisson過(guò)程或者帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)，其中某些變量，如再保險(xiǎn)策略，投資策略等是動(dòng)態(tài)的。在不同的最優(yōu)準(zhǔn)則下得到的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略有很大的不同。在第2.2節(jié)，2.4節(jié)以及2.5節(jié)中，我們假設(shè)保險(xiǎn)公司可以進(jìn)行再保險(xiǎn)，以分擔(dān)較大的風(fēng)險(xiǎn)。
　　 為

11、了使得模型與實(shí)際的金融市場(chǎng)更接近，以更好地描述金融市場(chǎng)的變化，常常用馬氏調(diào)節(jié)(Markov-modulated)模型(參考文獻(xiàn)中有時(shí)候稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)換(Regime-switching)模型）來(lái)描述金融市場(chǎng)。Hardy(2001)[24]對(duì)現(xiàn)實(shí)金融數(shù)據(jù)的的實(shí)證分析表明，相比于其他常用的金融市場(chǎng)模型，馬氏調(diào)節(jié)的金融市場(chǎng)模型更接近于真實(shí)的金融市場(chǎng)．在這個(gè)模型中，描述金融市場(chǎng)的模型參數(shù)將在有限數(shù)量的狀態(tài)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。在第2.3節(jié)中，我們研究了馬氏

12、調(diào)節(jié)金融市場(chǎng)模型中，保險(xiǎn)人的最優(yōu)均值．方差投資問(wèn)題。
　　 在許多金融學(xué)參考文獻(xiàn)中都假設(shè)股票的價(jià)格過(guò)程服從擴(kuò)散型的隨機(jī)過(guò)程，例如在著名的Black-Scholes-Merton金融市場(chǎng)中，股票（標(biāo)的資產(chǎn)）價(jià)格是用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述的。但在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，往往會(huì)有突發(fā)狀況出現(xiàn)，這會(huì)導(dǎo)致股票價(jià)格有一個(gè)跳。把跳加入到股票價(jià)格中的一個(gè)經(jīng)典方法是用所謂的跳擴(kuò)散模型來(lái)描述股票價(jià)格，最先提出跳擴(kuò)散模型的是．Mertin（1973）[48]．

13、在跳擴(kuò)散模型中，股票價(jià)格可能跳到某一個(gè)新的水平，然后再服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。其他的跳擴(kuò)散模型參見(jiàn)參考文獻(xiàn)Zhou(1997)[69]，以及Schmidt and Stute(2007)[56]等。在第2.4節(jié)中，我們考慮了跳擴(kuò)散金融模型下，保險(xiǎn)人的最優(yōu)均值-方差投資問(wèn)題。
　　 不允許賣(mài)空股票和不允許破產(chǎn)對(duì)保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)，是很符合實(shí)際操作的，在第2.2節(jié)和第2.5節(jié)中，我們分別考慮了賣(mài)空限制和破產(chǎn)限制下，保險(xiǎn)人的均值-方差最優(yōu)投資問(wèn)題

14、。
　　 下面我們將簡(jiǎn)要介紹第2章各小節(jié)研究的內(nèi)容，方法及主要結(jié)論．
　　 2.1節(jié)考慮了多個(gè)資產(chǎn)模型中保險(xiǎn)人的均值-方差最優(yōu)投資問(wèn)題，假設(shè)索賠過(guò)程是復(fù)合Poisson過(guò)程，保險(xiǎn)人可以投資一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)．利用隨機(jī)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制理論中的Hamilton-Jacobi-Belman(HJB)方程方法，我們得到了問(wèn)題的有效前沿和有效策略（最優(yōu)投資策略）。
　　 2.2節(jié)考慮了賣(mài)空限制下保險(xiǎn)人的均值．方

15、差最優(yōu)投資問(wèn)題以及最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題．我們的風(fēng)險(xiǎn)模型是古典風(fēng)險(xiǎn)模型，即假設(shè)索賠過(guò)程是復(fù)合Poisson過(guò)程。利用隨機(jī)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制理論，我們得到了HJB方程的粘性解。由于我們得到的是HJB方程的粘性解而非經(jīng)典解，F(xiàn)leming and Soner(1993)[18]關(guān)于跳擴(kuò)散模型的HJB方程古典解的驗(yàn)證定理不能使用．同時(shí)由于模型中有跳過(guò)程，Zhou，Yong and Li(1997)[72]關(guān)于擴(kuò)散模型HJB方程粘性解的驗(yàn)證定理也不可以

16、用，因此我們給出了一個(gè)適用于我們的帶跳模型的HJB方程粘性解的驗(yàn)證定理．
　　 在2.3節(jié)中，我們考慮了馬氏調(diào)節(jié)的金融市場(chǎng)中，保險(xiǎn)人的均值-方差最優(yōu)投資問(wèn)題．假設(shè)保險(xiǎn)人可以投資到一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中，其中資產(chǎn)的價(jià)格是由馬氏鏈驅(qū)動(dòng)的模型，即模型中的參數(shù)可以在馬氏鏈的幾個(gè)狀態(tài)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換．目標(biāo)是在固定投資組合終端期望的條件下，最小化投資組合的方差。利用Lagrange乘子的方法，我們把有約束條件的最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的最優(yōu)

17、問(wèn)題，然后通過(guò)求解三個(gè)常微分方程組，我們可以得到該問(wèn)題的顯式最優(yōu)解。結(jié)論顯示，在沒(méi)有狀態(tài)轉(zhuǎn)換的情況下，我們的結(jié)果與Wang，Xia and Zhang(2007)[64]一文的結(jié)果相同。
　　 在2.4節(jié)中，我們研究了跳擴(kuò)散金融市場(chǎng)中，保險(xiǎn)人的均值-方差最優(yōu)投資以及再保險(xiǎn)問(wèn)題。我們假設(shè)保險(xiǎn)人的索賠過(guò)程仍是復(fù)合Poisson過(guò)程，保險(xiǎn)人可以投資到一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中，保險(xiǎn)人可以進(jìn)行再保險(xiǎn)，股票價(jià)格過(guò)程是跳擴(kuò)散模型。利用2

18、.2節(jié)中我們給出的HJB方程粘性解的驗(yàn)證定理，可以得到原問(wèn)題的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略。
　　 在2.5節(jié)中，我們考慮了破產(chǎn)限制下保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資以及最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題。假設(shè)保險(xiǎn)公司的資產(chǎn)在考慮的時(shí)間段內(nèi)的任何時(shí)刻均為非負(fù)，即不能破產(chǎn)。假設(shè)保險(xiǎn)人的索賠過(guò)程是擴(kuò)散過(guò)程，保險(xiǎn)人可以投資到一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中。我們用Pliska(1982)[51]，Pliska(1986)[52]，Bielecki et al.(2005)[6]等

19、文中的分解方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．即把原問(wèn)題分解成兩個(gè)子問(wèn)題，第一個(gè)子問(wèn)題是找到一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量，使得在滿(mǎn)足兩個(gè)限制條件的情況下，這個(gè)隨機(jī)變量的方差達(dá)到最小，第二個(gè)子問(wèn)題是把第一個(gè)子問(wèn)題中得到的隨機(jī)變量作為終端財(cái)富，這個(gè)最優(yōu)終端財(cái)富的對(duì)沖策略就是我們要找的最優(yōu)策略。然后利用HJB方程古典解的驗(yàn)證定理，就可以得到原問(wèn)題的有效前沿和有效策略。
　　 在第3章中，我們建立了連續(xù)時(shí)間的行為均值-方差投資組合選擇問(wèn)題并利用分位數(shù)的方法對(duì)該問(wèn)

20、題進(jìn)行了研究，包括資產(chǎn)非負(fù)約束條件（在保險(xiǎn)上可以理解為不允許破產(chǎn)）下的連續(xù)時(shí)間行為均值-風(fēng)險(xiǎn)投資組合選擇問(wèn)題，扭曲的均值半方差投資組合選擇問(wèn)題，以及更一般的行為均值-方差投資組合選擇問(wèn)題等。
　　 我們首先簡(jiǎn)單介紹第3章研究的背景以及我們要建立第3章的模型的原因，然后將介紹第3章各個(gè)小節(jié)研究的主要內(nèi)容，方法和結(jié)論．
　　 盡管投資組合選擇理論在實(shí)際金融市場(chǎng)中被廣泛應(yīng)用，甚至Markowitz等人還因此獲得諾貝爾獎(jiǎng)，但最近

21、一些年來(lái)，一些學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)投資組合選擇理論的一些基本假設(shè)是不符合實(shí)際的，因此有人開(kāi)始研究行為金融學(xué)．
　　 行為金融學(xué)將心理學(xué)尤其是行為科學(xué)的理論融入到金融學(xué)之中．這是最近才新興起來(lái)的一門(mén)學(xué)科。它通過(guò)分析金融市場(chǎng)主體在市場(chǎng)中的行為來(lái)建立一種能正確反映市場(chǎng)主體實(shí)際決策行為和市場(chǎng)運(yùn)行狀況的模型．
　　 我們知道現(xiàn)代金融學(xué)投資組合選擇理論很多是在期望效用理論的框架下進(jìn)行研究的，比如最大化期望效用，均值-方差最優(yōu)問(wèn)題等。然而，2

22、0世紀(jì)80年代對(duì)金融市場(chǎng)的大量實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，期望效用理論作為風(fēng)險(xiǎn)的一種度量，其一些基本假設(shè)是與實(shí)際相違背的，因此在此基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了一系列新的理論。于是就出現(xiàn)了行為金融學(xué)的萌芽，即Yarri的“對(duì)偶選擇理論”(Yarri(1987)[67])，他試圖解決與期望效用理論相關(guān)的一些悖論。該理論的核心是對(duì)概率分布函數(shù)做個(gè)扭曲，而效用函數(shù)理論則是用效用函數(shù)對(duì)投資者的資產(chǎn)做個(gè)扭曲。Yarri(1987)[67]指出概率扭曲函數(shù)用另一種不同的方式體現(xiàn)

23、了風(fēng)險(xiǎn)的表現(xiàn)形式。
　　 其他沿著行為金融學(xué)這個(gè)框架發(fā)展的有SP/A理論以及前景理論。SP/A理論由Lopes(1987)[39]提出，并由Lopes and Oden(1999)[40]進(jìn)一步發(fā)展，其中S代表安全性(secuity)，P代表增值潛力(potential)，A代表財(cái)富渴求(aspiration)，該理論是研究行為決策者在不確定情況下進(jìn)行選擇的心理理論，概率扭曲函數(shù)在SP/A理論中被稱(chēng)為累積權(quán)重函數(shù)。前景理論由Ka

24、hneman and Tversky(1979)[31]以及Tversky andKahneman(1992)[61]提出，是描述性的一個(gè)行為決策模型．Kahneman因此獲得2002年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。最近幾年，有些學(xué)者將行為金融學(xué)的上述理論應(yīng)用到投資組合選擇理論中來(lái)，比如Levy and Levy(2004)[34]，Gomes(2005)[22]，Jin and Zhou(2008)[30]，He and Zhou(2010)[2

25、5]等．
　　 將行為金融學(xué)引入到投資組合選擇問(wèn)題中后，會(huì)出現(xiàn)很大的困難。從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，由于概率扭曲函數(shù)往往是非線(xiàn)性的，導(dǎo)致扭曲后的概率以及相應(yīng)的量，比如數(shù)學(xué)期望，不再有線(xiàn)性性，這破壞了動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法所必需的時(shí)間一致性以及凸對(duì)偶方法所必需的凸性，導(dǎo)致這些解決隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題的方法不能使用．Jin and Zhou(2008)[30]，Heand Zhou(2010)[25]開(kāi)創(chuàng)了分位數(shù)方法解決這個(gè)問(wèn)題，即通過(guò)選擇隨機(jī)變量的概率分布

26、函數(shù)的逆函數(shù)來(lái)代替選擇隨機(jī)變量本身。Jin and Zhou(2008)[30]在Kahneman andTversky's的前景理論的基礎(chǔ)上，考慮了連續(xù)時(shí)間行為投資組合選擇問(wèn)題，其中效用函數(shù)是S型的，概率扭曲函數(shù)是一般的函數(shù)。他們引進(jìn)了分位數(shù)的方法來(lái)解決由于概率扭曲產(chǎn)生的問(wèn)題。He and Zhou(2010)[25]考慮了在完全市場(chǎng)以及不完全市場(chǎng)兩類(lèi)金融市場(chǎng)中，有概率扭曲的連續(xù)時(shí)間行為投資組合選擇模型，他們采用的是分位數(shù)的方法，即通

27、過(guò)一系列的轉(zhuǎn)換，把終端財(cái)富的分位數(shù)函數(shù)作為要選擇的對(duì)象，而不是終端財(cái)富本身。受以上工作的啟發(fā)，我們將在第3章中利用分位數(shù)的方法考慮連續(xù)時(shí)間的行為均值，方差投資組合選擇問(wèn)題。
　　 Markowitz(1952)[43]首先提出了單周期的均值-方差投資組合選擇模型，用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望來(lái)衡量收益，用其方差來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)，從此之后，均值-方差準(zhǔn)則成為金融理論中衡量風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)重要準(zhǔn)則。然而也有一些學(xué)者認(rèn)為把方差作為衡量風(fēng)險(xiǎn)的度量是不妥當(dāng)?shù)?/p>

28、。對(duì)均值-方差準(zhǔn)則一個(gè)很重要的批判是，方差中超過(guò)均值的部分不該作為風(fēng)險(xiǎn)。因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)越小越好，而超過(guò)均值的部分則是越大越好，所以這一部分不該被作為風(fēng)險(xiǎn)來(lái)考慮，因此，一些學(xué)者提出了變形后的風(fēng)險(xiǎn)度量，比如下側(cè)風(fēng)險(xiǎn)(downside risk)．即只把低于期望的那一部分作為風(fēng)險(xiǎn)度量考慮的對(duì)象。Markowitz(1959)[44]也承認(rèn)作為風(fēng)險(xiǎn)的度量，半方差似乎比方差更加合理。
　　 Jin,Yan and Zhou(2005)[29]考

29、慮了連續(xù)時(shí)間均值-半方差問(wèn)題，他們的主要結(jié)論是，連續(xù)時(shí)間的均值．半方差問(wèn)題的最優(yōu)解不存在，但是可以構(gòu)造一系列策略，使得對(duì)應(yīng)的終端財(cái)富的期望保持在一個(gè)給定的水平，同時(shí)其半方差可以無(wú)限接近某一個(gè)極限值。這種負(fù)面的結(jié)果啟發(fā)了他們考慮均值-下側(cè)風(fēng)險(xiǎn)投資組合選擇問(wèn)題，他們發(fā)現(xiàn)結(jié)果與均值-半方差問(wèn)題類(lèi)似，即不存在最優(yōu)解。這種負(fù)面的結(jié)論表明均值-半方差問(wèn)題不能很好的描述投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的情況。因此，在第3.2節(jié)中，我們把投資者的行為考慮進(jìn)去，建立了更

30、符合現(xiàn)實(shí)世界中投資者心理的模型，即行為均值-半方差模型，利用分位數(shù)的方法，可以得到問(wèn)題的顯式解，結(jié)論顯示，對(duì)于某些概率扭曲函數(shù)，該問(wèn)題的最優(yōu)解是存在的。
　　 下面我們簡(jiǎn)要介紹一下第3章各小節(jié)研究的內(nèi)容，方法及主要結(jié)論。
　　 在3.1節(jié)中，我們考慮了非負(fù)約束下的行為均值-風(fēng)險(xiǎn)投資組合選擇問(wèn)題，在原均值-方差問(wèn)題的基礎(chǔ)上，用概率扭曲函數(shù)對(duì)概率分布尾函數(shù)做一個(gè)扭曲．由于扭曲后的概率沒(méi)有線(xiàn)性性，這個(gè)問(wèn)題不再是一個(gè)凸最優(yōu)問(wèn)題，

31、因此不能用傳統(tǒng)的隨機(jī)線(xiàn)性二次型控制的理論解決該問(wèn)題。我們用分位數(shù)的方法來(lái)解決本節(jié)的問(wèn)題，首先用與2.5節(jié)相同的方法，把原問(wèn)題分解成兩個(gè)子問(wèn)題。然后用分位數(shù)的方法解決第一個(gè)子問(wèn)題，即通過(guò)一系列變換，把尋找最優(yōu)的隨機(jī)變量（代表了終端財(cái)富）的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找這個(gè)隨機(jī)變量的分位數(shù)函數(shù)的問(wèn)題，然后該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的凸最優(yōu)問(wèn)題。利用凸最優(yōu)理論可以得到最優(yōu)的分位數(shù)函數(shù)，之后再通過(guò)反變換即可得到最優(yōu)的終端財(cái)富。求解第二個(gè)子問(wèn)題所得到的對(duì)應(yīng)于這個(gè)最優(yōu)終端財(cái)

32、富的對(duì)沖策略即為原問(wèn)題的最優(yōu)策略。
　　 3.2節(jié)研究了扭曲后的均值．半方差最優(yōu)問(wèn)題。收益定義為扭曲后的數(shù)學(xué)期望(Choquet數(shù)學(xué)期望)，風(fēng)險(xiǎn)則為扭曲后的下側(cè)方差。我們的目標(biāo)是尋找收益最高，同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合。利用分位數(shù)的方法可以得到這個(gè)問(wèn)題的顯式解。如前所述，在沒(méi)有扭曲的情況下，傳統(tǒng)的均值-半方差問(wèn)題的最優(yōu)解是不存在的．然而，我們的結(jié)論顯示，對(duì)于某些扭曲函數(shù)，扭曲后的均值-半方差問(wèn)題的最優(yōu)解是存在的，同時(shí)，我們還給出了最

33、優(yōu)解的顯式表達(dá)式．這也從側(cè)面說(shuō)明了扭曲后的模型能更好地描述投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡情況，證明了研究行為金融學(xué)是有很重要的現(xiàn)實(shí)意義的。我們把概率扭曲函數(shù)分為三大類(lèi)：使得原問(wèn)題無(wú)可行解的概率扭曲，使得原問(wèn)題有可行解但沒(méi)有最優(yōu)解的概率扭曲，使得原問(wèn)題有可行解也有最優(yōu)解的概率扭曲。沒(méi)有扭曲的情況，即傳統(tǒng)的均值-半方差問(wèn)題即屬于第二類(lèi)。對(duì)于第三類(lèi)，我們給出了最優(yōu)解的清晰表達(dá)式。本節(jié)的主要貢獻(xiàn)在于：一，由于概率扭曲的加入，模型的可行性不再是必然的，我們給出

34、了可行解存在的充分必要條件；二，我們給出了在可行解存在的情況下，最優(yōu)解存在的充分必要條件，這個(gè)條件是概率扭曲函數(shù)和金融市場(chǎng)所要滿(mǎn)足的條件；三，在最優(yōu)解存在的情況下，我們給出了其清晰表達(dá)式，并給出了有效前沿及有效策略。
　　 在3.3節(jié)中，我們考慮了更一般的連續(xù)時(shí)間行為均值-方差問(wèn)題。與前面兩節(jié)類(lèi)似，用分位數(shù)的方法，可以得到該問(wèn)題的解。
　　 在第4章中，我們研究了投資連結(jié)壽險(xiǎn)合同的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題，包括由shot-noise

35、過(guò)程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)中投資連結(jié)壽險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)最小對(duì)沖問(wèn)題，均值-方差準(zhǔn)則下投資連結(jié)壽險(xiǎn)的對(duì)沖問(wèn)題。
　　 在完全金融市場(chǎng)中，有唯一的一個(gè)對(duì)應(yīng)于規(guī)范概率測(cè)度的等價(jià)鞅測(cè)度，使得折現(xiàn)價(jià)格過(guò)程是一個(gè)鞅，因此任何一個(gè)未定權(quán)益都可以完全對(duì)沖。在不完全的金融市場(chǎng)中，由于不存在唯一的一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度，因此不能用等價(jià)鞅測(cè)度的方法完全對(duì)沖未定權(quán)益。所以，要有一個(gè)附加的最優(yōu)準(zhǔn)則，在此最優(yōu)準(zhǔn)則下，從眾多的測(cè)度中選擇一個(gè)合適的鞅測(cè)度來(lái)對(duì)沖未定權(quán)益。最近幾年，有很

36、多的方法和準(zhǔn)則被用來(lái)研究此類(lèi)問(wèn)題。
　　 在4.1節(jié)中，我們用Folllmer-Schweizer最小鞅測(cè)度的理論來(lái)解決投資連結(jié)壽險(xiǎn)合同的對(duì)沖問(wèn)題。最小鞅測(cè)度是使得原模型的結(jié)構(gòu)改變最小的鞅測(cè)度．相對(duì)應(yīng)的對(duì)沖策略被稱(chēng)為局部風(fēng)險(xiǎn)最小對(duì)沖策略。不完全市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)最小對(duì)沖問(wèn)題最早由Follmerand Sondermann(1986)[20]提出，他們利用Galt choulc-Kunita-Watanabe(G-K-W)分解構(gòu)造出了風(fēng)

37、險(xiǎn)最小對(duì)沖策略。隨后該理論由Schweizer(1991)[57]，Schweizer(1994)[58]，Schweizer(2001)[59]以及MoIler(1998)[49]進(jìn)一步發(fā)展。在Riesner(2006)[53]和vandaeleand Vanmaele(2008)[62]中，金融市場(chǎng)是由Chan(1999)[9]提出的由L6vy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的不完全金融市場(chǎng)．
　　 在許多金融學(xué)的參考文獻(xiàn)中，股票價(jià)格過(guò)程是由幾何布

38、朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述的，但在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，由于受外部突發(fā)因素的影響，股票價(jià)格會(huì)有一個(gè)跳，之后這種影響可能會(huì)隨著時(shí)間的過(guò)去而全部消失或者部分消失。Merton(1973)[48]所描述的跳-擴(kuò)散模型可以描述股票價(jià)格出現(xiàn)的跳，在跳出現(xiàn)之后，股票過(guò)程將在此基礎(chǔ)上，服從一個(gè)新的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，就是說(shuō)跳將始終影響股票價(jià)格．這種跳擴(kuò)散過(guò)程不能很好的描述隨著時(shí)間的流逝，外部因素對(duì)股票價(jià)格出現(xiàn)的影響可能會(huì)全部或者部分消失的情形，因此在4.1節(jié)中，我們用sho

39、t-noise過(guò)程來(lái)描述股票價(jià)格中出現(xiàn)的跳。我們研究了在由shot-noise驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)中，投資連結(jié)壽險(xiǎn)合同的風(fēng)險(xiǎn)最小對(duì)沖問(wèn)題。由于這樣的金融市場(chǎng)是不完全市場(chǎng)，保險(xiǎn)合同作為一個(gè)不定權(quán)益，其風(fēng)險(xiǎn)不能完全對(duì)沖，剩余的風(fēng)險(xiǎn)由保險(xiǎn)人來(lái)承擔(dān)。4.1節(jié)研究選擇什么樣的對(duì)沖策略可以使保險(xiǎn)人的剩余風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小。利用如前所述的G-K-W分解，我們構(gòu)造出了該問(wèn)題的局部風(fēng)險(xiǎn)最小對(duì)沖策略。在這一節(jié)中，我們考慮了兩類(lèi)基本的投資連結(jié)壽險(xiǎn)合同：純生存保險(xiǎn)(pur

40、eendowment unit-linked contracts)和定期人壽保險(xiǎn)(the term insurance unit-linked contracts)．并假設(shè)保費(fèi)在期初一次性收取。
　　 在4.2節(jié)中，我們引進(jìn)了均值-方差準(zhǔn)則作為投資連結(jié)壽險(xiǎn)合同的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題的最優(yōu)準(zhǔn)則。
　　 在第5章中，我們研究了帶交易費(fèi)用和分紅的保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資以及最優(yōu)分紅問(wèn)題。分紅是指公司將部分盈余分給股東或初始準(zhǔn)備金的提供者。所以

41、總的分紅量從某種意義上反應(yīng)了一個(gè)公司的效益和實(shí)力。因此如何選擇一個(gè)分紅策略或采取某種措施（例如再保險(xiǎn)和投資）使得破產(chǎn)之前的分紅量達(dá)到最大一直以來(lái)都是金融和保險(xiǎn)領(lǐng)域中最熱門(mén)的研究話(huà)題之一，在第5.1節(jié)中，我們考慮了在帶交易費(fèi)用的情形下，保險(xiǎn)人的最優(yōu)分紅問(wèn)題．
　　 第G章對(duì)博士論文進(jìn)行了小結(jié)，并給出了將來(lái)可能的研究方向。我的博士畢業(yè)論文主要是通過(guò)Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程．Pareto最優(yōu)，分位數(shù)

42、等理論解決了保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論中的均值-方差最優(yōu)投資，最優(yōu)再保險(xiǎn)，最優(yōu)分紅等問(wèn)題；行為金融學(xué)中的均值．方差最優(yōu)投資組合選擇問(wèn)題；以及投資連結(jié)壽險(xiǎn)合同的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問(wèn)題．上面對(duì)所研究的問(wèn)題以章節(jié)為單位進(jìn)行了分類(lèi)介紹。下面將從各個(gè)章節(jié)的創(chuàng)新點(diǎn)對(duì)他們的內(nèi)容進(jìn)行概括性的總結(jié)。
　　 (1)2.2節(jié)給出了一類(lèi)新的HJB方程粘性解的驗(yàn)證定理。
　　 (2)對(duì)文章中出現(xiàn)的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題，我們不再局限于用HJB方程的方法來(lái)解決，在第3章中，我們

43、用分位數(shù)的方法來(lái)解決動(dòng)態(tài)規(guī)劃以及凸最優(yōu)理論所不能解決的問(wèn)題。
　　 (3)在許多金融學(xué)參考文獻(xiàn)中都假設(shè)股票的價(jià)格過(guò)程服從擴(kuò)散型的隨機(jī)過(guò)程，但在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，往往會(huì)有突發(fā)狀況出現(xiàn)，這會(huì)導(dǎo)致股票價(jià)格有一個(gè)跳。因此我們考慮了一系列帶跳的股票價(jià)格模型。例如第2.4節(jié)中由復(fù)合Poisson過(guò)程驅(qū)動(dòng)的跳，以及第4.1節(jié)中由shot-noise驅(qū)動(dòng)的跳。
　　 (4)為了使模型更接近真實(shí)的金融市場(chǎng)，在第2.3節(jié)，我們用馬氏調(diào)節(jié)模型

44、來(lái)描述金融市場(chǎng)。
　　 (5)保險(xiǎn)公司作為一個(gè)特殊的金融機(jī)構(gòu)，其投資行為是要受到一定約束的。在第2.2節(jié)，我們考慮了在賣(mài)空限制下，保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資問(wèn)題．在第2.5節(jié)中，我們考慮了在破產(chǎn)限制下，保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資問(wèn)題。這兩種限制對(duì)保險(xiǎn)人而言，都是符合實(shí)際而且合理的限制。
　　 (6)為了把決策者的心理行為考慮進(jìn)來(lái)，我們?cè)诘?章考慮了行為金融學(xué)．第3.2節(jié)的結(jié)論表明，把行為金融學(xué)應(yīng)用到投資組合選擇問(wèn)題之后的模型能更好地描述投資