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文檔簡(jiǎn)介
1、<p> 函數(shù)定義域、值域求法總結(jié)</p><p> 一、定義域是函數(shù)y=f(x)中的自變量x的范圍。 </p><p> 求函數(shù)的定義域需要從這幾個(gè)方面入手: </p><p><b> ?。?)分母不為零 </b></p><p> ?。?)偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)。</p><p&
2、gt; ?。?)對(duì)數(shù)中的真數(shù)部分大于0。 </p><p> ?。?)指數(shù)、對(duì)數(shù)的底數(shù)大于0,且不等于1 </p><p> ?。?)y=tanx中x≠kπ+π/2;y=cotx中x≠kπ等等。</p><p><b> ( 6 )中x</b></p><p> 二、值域是函數(shù)y=f(x)中y的取值范圍。這些解題思想
3、與方法貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終。</p><p> 常用的求值域的方法:(1)直接法 (2)圖象法(數(shù)形結(jié)合) (3)函數(shù)單調(diào)性法</p><p> (4)配方法 (5)換元法 (包括三角換元) (6)反函數(shù)法(逆求法) </p><p> ?。?)分離常數(shù)法 (8)判別式法 (9)復(fù)合函數(shù)法</p>
4、;<p> ?。?0)不等式法 (11)平方法等等 </p><p><b> 三、典例解析</b></p><p><b> 1、定義域問題</b></p><p> 例1 求下列函數(shù)的定義域:</p><p><b> ① ;② ;③ </b><
5、;/p><p> 解:①∵x-2=0,即x=2時(shí),分式無意義,</p><p> 而時(shí),分式有意義,∴這個(gè)函數(shù)的定義域是.</p><p> ?、凇?x+2<0,即x<-時(shí),根式無意義,</p><p> 而,即時(shí),根式才有意義,</p><p> ∴這個(gè)函數(shù)的定義域是{|}.</p>&
6、lt;p> ③∵當(dāng),即且時(shí),根式和分式 同時(shí)有意義,</p><p> ∴這個(gè)函數(shù)的定義域是{|且}</p><p> 另解:要使函數(shù)有意義,必須: </p><p> 例2 求下列函數(shù)的定義域:</p><p> ?、?③ </p><p> ④
7、 ⑤ </p><p> 解:①要使函數(shù)有意義,必須: 即: </p><p> ∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?[] </p><p> ?、谝购瘮?shù)有意義,必須:</p><p> ∴定義域?yàn)椋簕 x|}</p><p> ?、垡购瘮?shù)有意義,必須: </p>&l
8、t;p><b> ∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?lt;/b></p><p> ?、芤购瘮?shù)有意義,必須: </p><p><b> ∴定義域?yàn)椋?</b></p><p> ⑤要使函數(shù)有意義,必須: </p><p> 即 x< 或 x> ∴定義域?yàn)椋?/p>
9、</p><p> 例3 若函數(shù)的定義域是R,求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 </p><p> 解:∵定義域是R,∴</p><p><b> ∴</b></p><p> 例4 若函數(shù)的定義域?yàn)閇1,1],求函數(shù)的定義域</p><p> 解:要使函數(shù)有意義,必須:</p>&
10、lt;p><b> ∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?lt;/b></p><p> 例5 已知f(x)的定義域?yàn)閇-1,1],求f(2x-1)的定義域。</p><p> 例6已知已知f(x)的定義域?yàn)閇-1,1],求f(x2)的定義域。</p><p> 例5分析:法則f要求自變量在[-1,1]內(nèi)取值,則法則作用在2x-1上必也要求2x-1在 [
11、-1,1]內(nèi)取值,即-1≤2x-1≤1,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域;或者從位置上思考f(2x-1)中2x-1與f(x)中的x位置相同,范圍也應(yīng)一樣,∴-1≤2x-1≤1,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域。</p><p> ?。ㄗ⒁猓篺(x)中的x與f(2x-1)中的x不是同一個(gè)x,即它們意義不同。)</p><p> 解:∵f(x)的定義域?yàn)閇-1,1],</p&g
12、t;<p> ∴-1≤2x-1≤1,解之0≤x≤1,</p><p> ∴f(2x-1)的定義域?yàn)閇0,1]。</p><p> 例6已知已知f(x)的定義域?yàn)閇-1,1],求f(x2)的定義域。</p><p> 答案:-1≤x2≤1 x2≤1-1≤x≤1</p><p> 練習(xí):設(shè)的定義域是[3,],求函數(shù)的定義域
13、</p><p> 解:要使函數(shù)有意義,必須: 得: </p><p> ∵ ≥0 ∴ </p><p> ∴ 函數(shù)的定域義為:</p><p> 例7已知f(2x-1)的定義域?yàn)閇0,1],求f(x)的定義域</p><p> 因?yàn)?x-1是R上的單調(diào)遞增函數(shù),因此由2x-1, x∈[0,
14、1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定義域。</p><p> 練習(xí):已知f(3x-1)的定義域?yàn)閇-1,2),求f(2x+1)的定義域。)</p><p> ?。ㄌ崾荆憾x域是自變量x的取值范圍)</p><p><b> 練習(xí):</b></p><p> 【練1】已知f(x2)的定義域?yàn)閇-1,1],求f(x
15、)的定義域</p><p> 【練2】若的定義域是,則函數(shù)的定義域是( ?。?lt;/p><p> ?。粒拢茫模?lt;/p><p> 【練3】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?,函?shù)的定義域?yàn)椋拢瑒t( ?。?lt;/p><p> A.B.BC.D. </p><p><b> 2、求值域
16、問題</b></p><p> 利用常見函數(shù)的值域來求(直接法)</p><p> 一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽;</p><p> 反比例函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x0},值域?yàn)閧y|y0};</p><p> 二次函數(shù)的定義域?yàn)镽,</p><p> 當(dāng)a>0時(shí),值域?yàn)閧
17、};當(dāng)a<0時(shí),值域?yàn)閧}.</p><p> 例1 求下列函數(shù)的值域</p><p> ① y=3x+2(-1x1) ② </p><p> ?、?(記住圖像) </p><p> 解:①∵-1x1,∴-33x3,</p><p> ∴-13x+25,即-1y5,∴值域是
18、[-1,5]</p><p><b> ②略</b></p><p> ?、?當(dāng)x>0,∴=,</p><p><b> 當(dāng)x<0時(shí),=-</b></p><p> ∴值域是[2,+).(此法也稱為配方法)</p><p><b> 函數(shù)的圖
19、像為:</b></p><p> 二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值):</p><p> 例2 求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域:</p><p> ; ②;</p><p><b> ?、?; ④; </b></p><p> ①∵拋物線的開口向上,函數(shù)的
20、定義域R,</p><p> ∴x=2時(shí),ymin=-3 ,無最大值;函數(shù)的值域是{y|y-3 }.</p><p> ?、凇唔旤c(diǎn)橫坐標(biāo)2[3,4],</p><p> 當(dāng)x=3時(shí),y= -2;x=4時(shí),y=1; </p><p> ∴在[3,4]上,=-2,=1;值域?yàn)閇-2,1].</p><p> ?、邸唔?/p>
21、點(diǎn)橫坐標(biāo)2 [0,1],當(dāng)x=0時(shí),y=1;x=1時(shí),y=-2,</p><p> ∴在[0,1]上,=-2,=1;值域?yàn)閇-2,1].</p><p> ?、堋唔旤c(diǎn)橫坐標(biāo)2 [0,5],當(dāng)x=0時(shí),y=1;x=2時(shí),y=-3, x=5時(shí),y=6,</p><p> ∴在[0,1]上,=-3,=6;值域?yàn)閇-3,6].</p><p>&
22、lt;b> 注:對(duì)于二次函數(shù),</b></p><p><b> ?、湃舳x域?yàn)镽時(shí),</b></p><p> ?、佼?dāng)a>0時(shí),則當(dāng)時(shí),其最小值;</p><p> ?、诋?dāng)a<0時(shí),則當(dāng)時(shí),其最大值.</p><p> ?、迫舳x域?yàn)閤 [a,b],則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x0是否屬于區(qū)
23、間[a,b].</p><p> ?、偃鬧a,b],則是函數(shù)的最小值(a>0)時(shí)或最大值(a<0)時(shí),</p><p> 再比較的大小決定函數(shù)的最大(小)值.</p><p> ?、谌鬧a,b],則[a,b]是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi),只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大(?。┲?</p><p> 注:①若給定區(qū)間不是閉區(qū)間,則可能得不到
24、最大(?。┲?;</p><p> 頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí),則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論.</p><p> 練習(xí):【練1】求函數(shù)y=3+√(2-3x)的值域</p><p> 解:由算術(shù)平方根的性質(zhì),知√(2-3x)≥0,</p><p> 故3+√(2-3x)≥3。</p><p> ∴
25、函數(shù)的值域?yàn)椤 ?</p><p> 【練2】求函數(shù) 的值域</p><p><b> 解: 對(duì)稱軸 </b></p><p> 例3 求函數(shù)y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。</p><p> 法一:(單調(diào)性法)設(shè)f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù),
26、從而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x </p><p> 在定義域?yàn)閤≤1/3上也為增函數(shù),而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,</p><p> 所求的函數(shù)值域?yàn)椋鹹|y≤4/3}。</p><p> 小結(jié):利用單調(diào)性求函數(shù)的值域,是在函數(shù)給定的區(qū)間上,或求出函數(shù)隱含的區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的增減性,求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,進(jìn)而可確定函
27、數(shù)的值域。</p><p> 法二:換元法(下題講)</p><p> 例4 求函數(shù) 的值域 </p><p> 解:(換元法)設(shè),則</p><p> 練習(xí):求函數(shù)y=3+√4-x的值域。(答案:{y|y≥3})</p><p> 點(diǎn)評(píng):將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),通過求出二次函數(shù)的最值,從
28、而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。</p><p> 練習(xí):求函數(shù)y=√x-1 –x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}</p><p> 例5 (選)求函數(shù) 的值域</p><p> 解:(平方法)函數(shù)定義域?yàn)椋?lt;/p><p> 例6 (選不要求)求函數(shù)的值域</p>
29、;<p> 解:(三角換元法) 設(shè)</p><p> 小結(jié):(1)若題目中含有,則可設(shè)</p><p> ?。?)若題目中含有則可設(shè),其中</p><p> (3)若題目中含有,則可設(shè),其中</p><p> ?。?)若題目中含有,則可設(shè),其中</p><p> ?。?)若題目中含
30、有,則可設(shè)</p><p><b> 其中</b></p><p> 例7 求 的值域</p><p> 解法一:(圖象法)可化為 如圖, </p><p><b> 觀察得值域</b></p><p> 解法二:(零點(diǎn)法)畫數(shù)軸 利用可得。<
31、/p><p> 解法三:(選)(不等式法)</p><p><b> 同樣可得值域</b></p><p> 練習(xí):的值域呢? ()(三種方法均可)</p><p> 例8 求函數(shù) 的值域</p><p> 解:(換元法)設(shè)
32、 ,則 原函數(shù)可化為</p><p><b> 例9求函數(shù) 的值域</b></p><p> 解:(換元法)令,則</p><p> 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知,原函數(shù)的值域?yàn)?</p><p> 例10 求函數(shù) 的值域</p><p> 解:(圖象法)如圖,值域?yàn)?</p>
33、;<p> 例11 求函數(shù) 的值域</p><p><b> 解法一:(逆求法)</b></p><p> 解法二:(分離常數(shù)法)由 ,可得值域</p><p> 小結(jié):已知分式函數(shù),如果在其自然定義域(代數(shù)式自身對(duì)變量的要求)內(nèi),值域?yàn)?;如果是條件定義域(對(duì)自變量有附加條件),采用部分分式法將原函數(shù)化為,用復(fù)合函數(shù)法
34、來求值域。</p><p> 例12 求函數(shù) 的值域</p><p> 解法一:(逆求法) </p><p> 小結(jié):如果自變量或含有自變量的整體有確定的范圍,可采用逆求法。</p><p> 解法二:(換元法)設(shè) ,</p><p><b> 則</b></p>
35、<p> 練習(xí):y=;(y∈(-1,1)).</p><p> 例13 函數(shù) 的值域</p><p><b> 解法一:(逆求法)</b></p><p> 解法二:(換元法)設(shè) ,則 </p><p> 解法三:(判別式法)原函數(shù)可化為 </p><p><
36、b> 時(shí) 不成立</b></p><p><b> 時(shí),</b></p><p><b> 綜合1)、2)值域</b></p><p> 解法四:(三角換元法)設(shè),則</p><p><b> 原函數(shù)的值域?yàn)?lt;/b></p><p
37、> 例14 求函數(shù)的值域</p><p> 解法一:(判別式法)化為</p><p><b> 1)時(shí),不成立</b></p><p><b> 2)時(shí),得</b></p><p><b> 綜合1)、2)值域</b></p><p>
38、; 解法二:(復(fù)合函數(shù)法)令,則</p><p><b> 所以,值域</b></p><p> 例15 函數(shù)的值域</p><p> 解法一:(判別式法)原式可化為 </p><p> 解法二:(不等式法)1)當(dāng)時(shí),</p><p><b> 時(shí),</b>&
39、lt;/p><p> 綜合1)2)知,原函數(shù)值域?yàn)?lt;/p><p> 例16 (選) 求函數(shù)的值域</p><p> 解法一:(判別式法)原式可化為 </p><p> 解法二:(不等式法)原函數(shù)可化為 </p><p> 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故值域?yàn)?lt;/p><p> 例17 (選) 求
40、函數(shù)的值域</p><p> 解:(換元法)令 ,則原函數(shù)可化為。。。</p><p> 小結(jié):已知分式函數(shù) ,如果在其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求值域;如果是條件定義域,用判別式法求出的值域要注意取舍,或者可以化為</p><p> ?。ㄟx)的形式,采用部分分式法,進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值;如果不滿足用基本不等式的條件,轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性去解
41、。</p><p><b> 練習(xí):</b></p><p><b> 【練1】 ;</b></p><p> 解:∵x0,,∴y11.</p><p> 另外,此題利用基本不等式解更簡(jiǎn)捷:(或利用對(duì)勾函數(shù)圖像法)</p><p><b> 【練2】<
42、;/b></p><p><b> 0<y5.</b></p><p> 【練3】求函數(shù)的值域</p><p> ?、?; ②</p><p><b> 解:①令0,則,</b></p><p><b> 原式可化為,</b
43、></p><p> ∵u0,∴y,∴函數(shù)的值域是(-,].</p><p> ?、诮猓毫?t=4x0 得 0x4 </p><p> 在此區(qū)間內(nèi) (4x)=4 ,(4x) =0</p><p> ∴函數(shù)的值域是{ y| 0y2}</p><p> 【練4】求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域.
44、</p><p> 解法1:將函數(shù)化為分段函數(shù)形式:,畫出它的圖象(下圖),由圖象可知,函數(shù)的值域是{y|y3}.</p><p> 解法2:∵函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩定點(diǎn)-1,2的距離之和,∴易見y的最小值是3,∴函數(shù)的值域是[3,+]. 如圖</p><p> 【練5】求函數(shù)的值域</p><p>
45、解:設(shè) 則 t0 x=1</p><p><b> 代入得 </b></p><p> ∵t0 ∴y4</p><p> 【練6】(選)求函數(shù)的值域</p><p> 方法一:去分母得 (y1)+(y+5)x6y6=0 ①</p><p> 當(dāng) y1時(shí) ∵xR
46、∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0</p><p> 由此得 (5y+1)0</p><p> 檢驗(yàn) (有一個(gè)根時(shí)需驗(yàn)證)時(shí) (代入①求根)</p><p> ∵2 定義域 { x| x2且 x3} ∴</p><p> 再檢驗(yàn) y=1 代入①求得 x=2 ∴y1</p><
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