《數(shù)學史》分析的嚴格化(下)

1、第10章 分析的嚴格化,10.3.3 數(shù)學物理與微分方程,自從牛頓時代起，物理問題就成為數(shù)學發(fā)展的一個重要源泉．18世紀數(shù)學和物理的結合點主要是常微分方程．隨著物理科學所研究的現(xiàn)象從力學向電學以及電磁學擴展，到19世紀，偏微分方程的求解成為數(shù)學家和物理學家關注的重心，對它們的研究促進了函數(shù)論、變分法、無窮級數(shù)、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等學科的發(fā)展．,,19世紀偏微分方程發(fā)展的序幕，是由法國數(shù)學家傅里葉(J.Four

2、ier，1768—1830)拉開的，他于1822年發(fā)表的《熱的解析理論》是數(shù)學史上的經典文獻之一．傅里葉研究的主要問題是吸熱或放熱物體內部任何點處的溫度隨空間和時間的變化規(guī)律．在對物體的物理性狀作出一定的限制(如均勻，各向同性)后，他根據(jù)物理原理推導出了三維空間的熱傳導方程,,傅里葉：,傅立葉,1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡， 被當?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學校讀書。

3、 17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學，1794到巴 黎，成為高等師范學校的首批學員，次年到巴黎綜合工科學校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當選為科學院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務委員會主席。,傅立葉,主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。1807年向巴黎科學院呈交《熱的傳播》論文，推導出著名的熱傳

4、導方程 ，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。 其他貢獻有：最早使用定積分符號，改進了代數(shù)方程符號法則的證法和實根個數(shù)的判別法等。,其中 是一個常數(shù)，其值依賴于物體的質料．傅里葉當時解決的是如下特殊的熱傳導問題：設所考慮的物體為兩端保持在溫度0度、面絕熱而無熱流通過的柱軸，在此情

5、形下求解上述熱傳導方程．因為柱軸只涉及一維空間，所以這個問題也就是解偏微分方程,,其中下面的兩項分別是邊界條件和初始條件．傅里葉為解這個方程用了變量分離法，他得到,,為了滿足初始條件，必須有,,這就促使傅里葉不得不考慮任給一個函數(shù)，能否將它表示成三角級數(shù)的問題．傅里葉得出的結論是：每個函數(shù)都可以表示成,,這樣，每個 就可由上式乘以 ，再從0到 積分而得到．他還指出這個

6、程序可以應用于表達式,,,接著，他考慮了任何 在區(qū)間 的表達式，利用任何函數(shù)可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和這一事實，傅里葉可以將區(qū)間 上的任何 表示為,,其系數(shù)由,,確定，這就是我們通常所稱的傅里葉級數(shù)．不過傅里葉從沒有對“任意”函數(shù)可以展成傅里葉級數(shù)這一斷言給出過任何完全的證明，他也沒有說出一個函數(shù)可以展開為三角級數(shù)必須滿足的條件．,,傅里葉,,,傅里葉

7、的工作不僅發(fā)展了偏微分方程的理論，而且使函數(shù)概念得以改進，同時也標志著人們從解析函數(shù)或可展成泰勒級數(shù)的函數(shù)中解放了出來．傅里葉的前輩都曾堅持一個函數(shù)必須是可用單個式子表示的，而傅里葉級數(shù)卻可以表示那些在區(qū)間 或 的不同部分有不同解析式的函數(shù)，不論這些表示式互相是否連續(xù)地接合著．特別是一個傅里葉級數(shù)是在一整段區(qū)間上表示一個函數(shù)的，而一個泰勒級數(shù)僅在函數(shù)是解析的點附近表示該函數(shù)．,19世紀偏微分方程的另

8、一個重要發(fā)展是圍繞著位勢方程來進行的，這方面的代表人物格林(G．Green，1793—1841)是一位磨坊工出身、自學成才的英國數(shù)學家．位勢方程也稱拉普拉斯方程(參見第7章)：,,拉普拉斯和泊松都研究過這個方程，但他們的方法都只適用于特殊的幾何形體，格林則認識到函數(shù) 的重要性，并首先賦予它“位勢”(potential)的名稱，與前人不同的是，格林發(fā)展了函數(shù) 的一般理論．他求解位勢方程的方法與用特殊函數(shù)的級數(shù)的方法相反，稱為

9、奇異點方法． 他在1828年私人印刷出版的小冊子《關于數(shù)學分析應用于電磁學理論的一篇論文》中，建立了許多對于推動位勢論的進一步發(fā)展極為關鍵的定理與概念，其中以格林公式,( 為物體表面指向內部的法向， 是體積元， 是面積元)和作為一種帶奇異性的特殊位勢的格林函數(shù)概念影響最為深遠．,格林是劍橋數(shù)學物理學派的開山祖師，他的工作培育了湯姆遜(W.Thomson，1824—1907)、史托克斯(G.St

10、okes，1819—1903)、麥克斯韋(C.Maxwell，1831—1879)等強有力的后繼者，他們是19世紀典型的數(shù)學物理學家．他們的主要目標，是發(fā)展求解重要物理問題的一般數(shù)學方法，而他們手中的主要武器就是偏微分方程，以致于在19世紀，偏微分方程幾乎變成了數(shù)學物理的同義語．,下面讓我們看看格林的簡介。,格林,格林(Green，1793-1841）格林8歲時曾就讀于一所私立學校 。格林在校表現(xiàn)出非凡的數(shù)學才能．可惜這段學習僅延續(xù)了一

11、年左右．1802年夏天，格林就輟學回家，幫助父親做工． 19世紀初的諾丁漢郡正處于上升時期．編織業(yè)的發(fā)達，造成了人口的密集，與拿破侖的戰(zhàn)爭又促使小麥生意興?。?1807年，格林的父親在諾丁漢近郊買下一座磨坊，從面包師變成了磨坊主．父子二人慘淡經營，家道小康．但格林始終未忘他對數(shù)學的愛好，以驚人的毅力堅持白天工作，晚上自學，把磨坊頂樓當作書齋，攻讀從本市布朗利(Bromley)

12、圖書館借來的數(shù)學書籍。,格林,1833年10月，年已40的格林終于跨進了劍橋大學的大門，成為岡維爾-凱厄斯學院的自費生．經過4年艱苦的學習，1837年獲劍橋數(shù)學榮譽考試(Mathematical Tripo)一等第四名，翌年獲學士學位，1839年當選為岡維爾-凱厄斯學院院委． 正當一條更加寬廣的科學道路在格林面前豁然展現(xiàn)之時，這位磨坊工出身的數(shù)學家卻因積勞成疾，不得不回家鄉(xiāng)休養(yǎng)，于1841年5月31日在諾丁漢

13、病故．,格林,格林生前長期與磨坊領班W．史密斯(Smith)的女兒簡(Jane)同居，但始終未正式結婚．最初可能是由于他父親反對這門婚事，后來則因劍橋岡維爾-凱厄斯學院院委資格只授予單身漢，格林為了事業(yè)只好放棄正式結婚的打算．格林去世后，簡被承認為其合法遺孀，人們都稱她為“格林夫人”，他們生有兩個兒子、五個女兒．　　格林短促的一生，共發(fā)表過10篇數(shù)學論文，這些原始著作數(shù)量不大，卻包含了影響19世紀數(shù)學物理發(fā)展的寶貴思想．　　格林是現(xiàn)

14、代位勢理論的先驅與奠基人之一。,,今天，格林度過他艱苦自學歲月的磨坊依然存在，到諾丁漢訪問的人，很遠就可以看到它聳立的風輪． 英國諾丁漢市決定維護好格林遺址，作為對這位磨坊工出身的數(shù)學家的永久紀念．,,劍橋數(shù)學物理學派的貢獻使經歷了一個多世紀沉寂后的英國數(shù)學在19世紀得以復興，麥克斯韋1864年導出的電磁場方程,,是19世紀數(shù)學物理最壯觀的勝利，正是根據(jù)對這組方程的研究，麥克斯韋預言了電磁波的存在，不僅給科

15、學和技術帶來巨大的沖擊，同時也使偏微分方程威名大振． 愛因斯坦在一次紀念麥克斯韋的演講中說：“偏微分方程進入理論物理學時是婢女，但逐漸變成了主婦，”他認為這是從19世紀開始的，而劍橋數(shù)學物理學派尤其是麥克斯韋在這一轉變中起了重要的作用．,麥克斯韋,麥克斯韋（1831～1879）英國物理學家、數(shù)學家?？茖W史上，稱牛頓把天上和地上的運動規(guī)律統(tǒng)一起來，是實現(xiàn)第一次大綜合，麥克斯韋把電、光統(tǒng)一起來，是實現(xiàn)第二次大

16、綜合，因此應與牛頓齊名。 1873年出版的《論電和磁》，也被尊為繼牛頓《自然哲學的數(shù)學原理》之后的一部最重要的物理學經典。沒有電磁學就沒有現(xiàn)代電工學，也就不可能有現(xiàn)代文明。 一般認為麥克斯韋是從牛頓到愛因斯坦這一整個階段中最偉大的理論物理學家。1879年他在48歲時因病與世長辭。他光輝的生涯就這樣過早地結束了。,泊松,泊松 （1781—1840）法國數(shù)學家。泊松是法國數(shù)學家、

17、物理學家和力學家. 1798年入巴黎綜合工科學校深造。在畢業(yè)時，因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師。受到拉普拉斯、拉格朗日的賞識。1800年畢業(yè)后留校任教，1802年任副教授,1806年接替傅里葉任該校教授。 1808年任法國經度局天文學家,1809年任巴黎理學院力學教授。1812年當選為巴黎科學院院士。,,泊松的科學生涯開始于研究微分方程及其在擺的運動和聲學理論中的應用。他工作的特

18、色是應用數(shù)學方法研究各類力學和物理問題，并由此得到數(shù)學上的發(fā)現(xiàn)。他對積分理論、行星運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻。 “泊松是第一個沿著復平面上的路徑實行積分的人.” ──克蘭 “我建立了描述隨機現(xiàn)象的一種概率分布.” ──泊松,除了麥克斯韋方程，19世紀導出的著名偏微分方程組還有粘性

19、流體運動的納維—史托克斯方程(C.L.M.H.Navier，1821；G.Stokes，1849)和彈性介質的柯西方程(1828)等．所有這些方程都不存在普遍解法．不過19世紀的數(shù)學家們已逐漸認識到在偏微分方程的情形，無論是單個方程還是方程組，通解實際上不如初始條件和邊界條件已給定的特殊問題的解有用．因此他們在求解定解問題方面做了大量工作．,對18、19世紀建立起來的類型眾多的微分方程，數(shù)學家們求顯式解的努力往往歸于失敗，這種情況促使他

20、們轉而證明解的存在性．最先考慮微分方程解的存在性問題的數(shù)學家是柯西．,他指出：在求顯式解無效的場合常?？梢宰C明解的存在性．他在1820年代對形如的常微分方程給出了第一個存在性定理，這方面的工作被德國數(shù)學家李普希茨(R.Lipschitz)、法國數(shù)學家劉維爾(J.Liouville)和皮卡(E.Picard)等追隨．,柯西也是討論偏微分方程解的存在性的第一人，他在1848年的一系列論文中論述了如何將任意階數(shù)大于1的偏微分方程化為偏微分方程

21、組，然后討論了偏微分方程組的存在性并提出了證明存在性的長函數(shù)方法．,柯西的工作后來被俄國女數(shù)學家柯瓦列夫斯卡婭(C.B.Kovalevskaya，1850—1891)獨立地發(fā)展為包括擬線性方程和高階組在內的非常一般的形式．柯瓦列夫斯卡婭的論文《偏微分方程理論》刊登在克雷爾《數(shù)學雜志》上(1875)，有關的偏微分方程解的存在唯一性定理在現(xiàn)代文獻中就稱“柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理”．,柯瓦列夫斯卡婭是歷史上為數(shù)不多的杰出女數(shù)學家之一．她出生于

22、莫斯科一個貴族家庭，17歲時就在彼得堡一位海軍學校教師指導下掌握了微積分．然而當時的俄國大學拒收女性，為了求學深造，她只好出走德國，先在海德堡大學學習一年，后來慕名到柏林求見魏爾斯特拉斯．,初次見面，魏爾斯特拉斯出了一堆難題考她，估計她多半做不出來，但一周以后，當柯瓦列夫斯卡婭如期帶著完滿的答卷回來見他時，這位名重一時的數(shù)學家對她的數(shù)學才能不再懷疑．當時的柏林大學跟俄國大學一樣不收女生，魏爾斯特拉斯決定為柯瓦列夫斯卡婭單獨授課，每星期日

23、下午一次，四年不曾中斷．,在這四年時間里，柯瓦列夫斯卡婭不僅學完了大學的全部數(shù)學課程，而且還寫出了三篇重要論文，其中一篇就是前面提到的關于偏微分方程解的存在性的研究．這些工作是那樣出色，以致哥廷根大學在沒有經過考試和答辯的情況下破格授予她博士學位，使她成為歷史上第一位女數(shù)學博士．,,柯瓦列夫斯卡婭,柯瓦列夫斯卡婭38歲時由于對剛體繞定點旋轉問題的研究而榮獲法國科學院大獎——鮑亭獎．剛體旋轉問題自歐拉、拉格朗日以來長期停滯不前，法國科學院

24、已三次懸賞解決．柯瓦列夫斯卡婭的獲獎成為當時的報紙新聞，轟動了巴黎．法國科學院院長親自致頒獎辭說：“當今最輝煌、最難得的榮譽桂冠，有一頂將落到一位女士頭上．”第二年，俄國科學院選舉柯瓦列夫斯卡婭為通信院士，為此還專門修改了院章中不接納女性院士的規(guī)定．柯瓦列夫斯卡婭又成為歷史上第一位女科學院院士，她達到了事業(yè)的頂峰．不幸的是，一年多以后，她就因患肺炎在瑞典斯德哥爾摩逝世，年僅41歲．,由于18世紀的大量開發(fā)，常微分方程的求解在19世紀反而

25、局限于用分離變量法解偏微分方程時所得到的方程，并且多半使用級數(shù)解，這引導出一串特殊函數(shù)，如貝塞爾函數(shù)(1816)、高斯超幾何函數(shù)(1812)等等．,在19世紀后半葉，對常微分方程研究的理論方面變得突出，并且在兩個大的方向上開拓了常微分方程研究的新局面，其中的重大發(fā)展都與龐加萊的名字聯(lián)系著．,第一個方向是與奇點問題相聯(lián)系的常微分方程解析理論．,作為常微分方程向復數(shù)域的推廣，常微分方程解析理論是由柯西開創(chuàng)的，但柯西之后，解析理論重點向大范圍

26、轉移．黎曼和福克斯(L.Fuchs，1833—1902)發(fā)展了線性方程理論，?？怂古c龐加萊探討了一階非線性方程理論，到龐加萊與克萊因的自守函數(shù)理論而臻于頂峰．自守函數(shù)是在二階非線性方程研究中，考慮當繞奇點的閉路徑一圈時解的變換而導出的．一般自守函數(shù)是指在變換群,,或該群的某些子群作用下不變的函數(shù)，首先由龐加萊作為二階常微分方程兩個線性無關解的商的反函數(shù)而得到．龐加萊在1824—1884年間的一系列論文中建立了這類函數(shù)的一般理論，克萊因也

27、差不多同時獨立發(fā)現(xiàn)了自守函數(shù)．,自守函數(shù)的研究完整地解決了代數(shù)系數(shù) 階線性常微分方程的積分問題，同時作為橢圓函數(shù)的推廣，自守函數(shù)本身已成為解析函數(shù)論的重要內容．,19世紀常微分方程研究的另一個嶄新方向——定性理論，則完全是龐加萊的獨創(chuàng)．,我們知道，當求顯式解變得越來越困難時，人們的目光就更多地轉向通過微分方程本身來了解其解的性態(tài)的問題．龐加萊則是由三體問題的研究而被引導到常微分方程定性理論的創(chuàng)立．,三體問題自牛頓以來一直在天體力學

28、里占有突出的地位，其中一個備受關注的課題是行星或衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性，這導致對描述天體運動的微分方程周期解的研究．拉格朗日曾找到三體問題的特殊周期解．但在一般情況下，描述三體問題的非線性常微方程組很難找到顯式解．,龐加萊1881—1886年間在同一標題《由微分方程定義的曲線》下發(fā)表的4篇論文，尋求只通過考察微分方程本身就可以回答關于穩(wěn)定性等問題的方法，創(chuàng)建了微分方程定性理論.龐加萊從形如,,的非線性方程出發(fā)，發(fā)現(xiàn)微分方程的奇點(即使

29、 和 同時為0的點)起著關鍵作用．他把奇點分為四類(焦點、鞍點、結點、中心)，討論了解在各種奇點附近的性狀，同時還發(fā)現(xiàn)了一些與描述滿足微分方程的解曲線有關的重要的閉曲線如無,接觸環(huán)(不與任何滿足微分方程的曲線組相接觸的閉曲線)、極限環(huán)(滿足微分方程的閉曲線，且其他解曲線無限趨近卻永遠達不到它)等．利用這些概念，龐加萊獲得了關于三體問題周期解的許多新結果．龐加萊關于在奇點附近積分曲線隨時間變化的定性研究在1892年以后被俄國數(shù)學家

30、李亞普諾夫(A.M.Liapunov，1857—1918發(fā)展到高維一般情形而形成專門的“運動穩(wěn)定性”分支．),,龐加萊(Henri Poincare，1854—1912)從1881年(27歲)起任巴黎大學教授，直到他去世．他是歐拉、柯西之后最多產的數(shù)學家，并且在研究領域的廣泛方面很少有人能與他相比．每年他在索邦(Sorbonne，即巴黎大學)講授一種不同的科目，而在每一門科目中，他都留有他自己的創(chuàng)造印記。,龐加萊,龐加萊,龐加萊(185

31、4-1912)法國數(shù)學家、天體力學家、數(shù)學物理學家、科學哲學家。龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學、幾何學、拓撲學、天體力學、數(shù)學物理、多復變函數(shù)論、科學哲學等許多領域。 他被公認是19世紀后四分之一和二十世紀初的領袖數(shù)學家，是對于數(shù)學和它的應用具有全面知識的最后一個人。 龐加萊在數(shù)學方面的杰出工作對20世紀和當今的數(shù)學造成極其深遠的影響，他在天體力學方面的研究是牛頓以來的第二個偉大的里

32、程碑，他對電子理論的研究被公認為相對論的理論先驅。,龐加萊,龐加萊特別愛好讀書，讀書的速度快得驚人，而且能對讀過的內容迅速、準確、持久地記住。 他甚至能講出書中某件事是在第幾頁第幾行中講述的！龐加萊還對博物學發(fā)生過特殊的興趣。他對自然史的興趣也很濃，歷史、地理的成績也很優(yōu)異。 他在兒童時代還顯露了文學才華，有的作文被老師譽為“杰作”。,龐加萊,1875年～1878年，龐

33、加萊在高等工科學校畢業(yè)后，又在國立高等礦業(yè)學校學習工程，準備當一名工程師。但他對這方面沒有興趣。 1879年8月1日，龐加萊撰寫了關于微分方程方面的博士論文，獲得了博士學位。然后到卡昂大學理學院任講師，1881年任巴黎大學教授，直到去世。這樣，龐加萊一生的科學事業(yè)就和巴黎大學緊緊地聯(lián)在一起了。,龐加萊猜想,龐加萊作為數(shù)學家的偉大，并不完全在于他解決了多少問題，而在于他曾經提出過許多具有開創(chuàng)意義、奠基性的大問題

34、。龐加萊猜想，就是其中的一個。 1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那么這個空間一定是一個三維的圓球。 但1905年發(fā)現(xiàn)提法中有錯誤，并對之進行了修改，被推廣為：“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚于n維球面?！焙髞恚@個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。,龐加萊、克萊因

35、和希爾伯特，是在19和20世紀數(shù)學交界線上高聳著的三個巨大身影．他們反射著19世紀數(shù)學的光輝，同時照耀著通往20世紀數(shù)學的道路．在19世紀末，數(shù)學發(fā)展呈現(xiàn)出一派生機蓬勃的景象，這與18世紀形成了鮮明的對比．無論從內部需要還是外部應用看，數(shù)學家們似乎都有做不完的問題。1900年8月5日，龐加萊宣布巴黎國際數(shù)學家大會開幕，正是在這次會議期間，希爾伯特充滿信心地走上講臺，以他著名的23個問題揭開了20世紀數(shù)學的序幕．,克萊因和希爾伯特:,克萊

36、因,菲利克斯·克萊因（1849年4月25日－1925年6月22日）是德國數(shù)學家。 克萊因生于德國杜塞多夫。他在埃爾朗根、慕尼黑和萊比錫當過教授，最后到了哥廷根，教授數(shù)學。他的主要課題是非歐幾何、群論和函數(shù)論。他的將各種幾何用它們的基礎對稱群來分類的愛爾蘭根綱領的發(fā)布影響深遠：是當時很多數(shù)學的一個綜合。,克萊因,1871年，克萊因接受哥廷根大學的邀請擔任數(shù)學講師。1872年他又被埃爾朗根大學聘任為

37、數(shù)學教授，這時他只有23歲。1875年他在慕尼黑高等技術學院取得了一個教席。 1886年，克萊因接受了哥廷根大學的邀請來到哥廷根，開始了他的數(shù)學家的生涯。他講授的課程非常廣泛，主要是在數(shù)學和物理之間的交叉課題，如力學和勢論。他在這里直到1913年退休。他實現(xiàn)了要重建哥廷根大學作為世界數(shù)學研究的重要中心的愿望。,克萊因,1885年克萊因被英國皇家學會選為國外會員并被授予科普勒獎金。 　　1908年克萊因被國際數(shù)

38、學會選為在羅馬召開的數(shù)學家大會主席。,希爾伯特,德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特（1862-1943）是20世紀最偉大的數(shù)學家之一．他在1899年出版的《幾何基礎》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數(shù)學公理化學派” 。,哥廷根大學,哥廷根大學，位于德國西北部下薩克森州南端的大學城哥廷根市，因英王喬治二世創(chuàng)建而得名。始建于1734年，于1737年向公眾開放。哥廷根擁有十分輝煌的歷史，名人輩出，蜚聲世界?！　「缤⒏髮W有著良

39、好的國際聲譽，在2011年“泰晤士高等教育大學世界排名”中，名列德國第2，全球第69位。同時在2011年“世界大學學術排名”中，名列德國第4，全球第86位。另外在2011年“QS世界大學排名”中名列德國第9，全球第149位。,創(chuàng)辦初期，旨在弘揚歐洲啟蒙時代學術自由的理念，哥廷根大學也因此一開歐洲大學學術自由之風氣。大學創(chuàng)辦之初，即設有神學、法學、哲學、醫(yī)學四大經典學科，尤以自然科學和法學為重。 更讓哥廷根成

40、為世人矚目的科學中心的是其自然科學，尤其是數(shù)學。被稱為“最重要的數(shù)學家”的高斯就于18世紀任教于此并開創(chuàng)了哥廷根學派。此后，黎曼、狄利克雷和雅可比在代數(shù)、幾何、數(shù)論和分析領域做出了貢獻。到19世紀，著名數(shù)學家希爾伯特和克萊因更是吸引了大批數(shù)學家前往哥廷根，從而使德國哥廷根數(shù)學學派進入了全盛時期。到20世紀初，哥廷根已成為無可爭辯的世界數(shù)學中心和麥加圣地。,哥廷根大學,19世紀末-20世紀初,這一時期，哥廷根大學在全歐乃至世界上的學術地位

41、達到了頂峰。 　　45位諾貝爾獎得主曾在哥廷根大學學習、任教或研究，其中大部分為物理和化學獎，其他為醫(yī)學、和平及文學獎。在這半個世紀從這里走出的諾貝爾獎得主人數(shù)位居世界大學第八位，創(chuàng)造了“哥廷根諾貝爾奇跡”。,19世紀末-20世紀初,此外，德意志帝國時期的“鐵血宰相”奧托·馮·俾斯麥，聯(lián)邦德國前總統(tǒng)里夏德·馮·魏茨澤克及前總理格哈特·施羅德均曾于哥廷根大學學習法律。德國大詩人海涅也在此

42、取得法學博士。格林兄弟在此任教并編寫了第一部德語詞典?，F(xiàn)象學大師埃德蒙德·胡塞爾在此任教，哲學家亞瑟·叔本華，社會學大師馬克斯·韋伯與尤爾根·哈貝馬斯等也先后求學于哥廷根。,,,鵝女孩雕像,有趣的傳統(tǒng),在哥廷根大學至今還保存著一項有名的和有趣的傳統(tǒng)，就是在博士生通過答辯獲得學位的當天，都會頭戴博士帽，在親友的陪同下乘坐花車前往市中心的鵝女孩廣場去親吻“鵝女孩雕像”。,哥廷根的驕傲 - 知名校友錄,

43、數(shù)學家 - 卡爾·弗里德里希·高斯 　　數(shù)學家 - 約翰·狄利克雷 　　數(shù)學家 - 波恩哈德·黎曼 　　數(shù)學家 - 理查德·戴德金 　　數(shù)學家 - 菲利克斯·克萊因 　　數(shù)學家 - 大衛(wèi)·希爾伯特,巴黎高等師范學院,巴黎高等師范學院依照法國共和三年霧月9日(1794年10月30日)政令創(chuàng)辦，學校成立之初確定的宗旨是讓學生在教師的幫助下，學會“教學的藝術” 。

44、 巴黎高師的既往歲月中，誕生了無數(shù)的科學和人文藝術領域的天才和大師。共計有10位來自物理、化學、經濟學、文學領域的諾貝爾獎得主和9位菲爾茲獎（Field Medals，數(shù)學"諾貝爾獎"）得主出自巴黎高師，是世界上獲得此獎最多的大學。,THANKS!,選擇題與填空題,1．被稱為“現(xiàn)代分析之父”的數(shù)學家是_魏爾斯特拉斯，被稱為“數(shù)學之王”的數(shù)學家是_高斯__.2．“數(shù)學無王者之道”，這里的“王