計算機數(shù)學(xué)課件第十二章

1、第 12 章 線性方程組,知識點消元解法系數(shù)矩陣與增廣矩陣梯形矩陣線性方程解的情況判定n維向量其相關(guān)性向量組的秩及線性方程組解的結(jié)構(gòu)難點線性方程組的結(jié)構(gòu),n維向量及其相關(guān)性 要求 熟練掌握求解線性方程組線性方程組解的判定向量組的秩及其相關(guān)性齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系線性方程組解的結(jié)構(gòu)并求其通解了解線性方程組的消元解法,12.1線性方程組的消元解法12.1.1 n元線性方程組,我們在初等數(shù)學(xué)中，曾學(xué)習(xí)

2、過二元一次方程組與三元一次方程組，但在實際問題中，有時會遇到未知量個數(shù)超過三個或方程個數(shù)與未知量個數(shù)不相等的線性（一次）方程組。例如 等。,,12.1.2系數(shù)矩陣與增廣矩陣,設(shè)線性方程組為令,,,,,,,我們稱矩陣A為線性方程組的系數(shù)矩陣。 我們稱此矩

3、陣為線性方程組的增廣矩陣。12.1.3行簡化階梯形矩陣 把階梯形矩陣進一步進行初等行變換，使其滿足以下兩個條件：1）各非零行的第一個非零元素都是1。,,,,,,,,2）所有第一個非零元素所在列的其余元素均為零。則稱該矩陣為行簡化階梯形矩陣。 例如 、等，均為行簡化階梯形矩陣。12.1.4 線性方程組的解法 下面通過一個例

4、題來介紹利用矩陣的有關(guān)知識解線性方程組的一種方法。,例 解線性方程組,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,于是得方程組的解為,,,,,,,,由上例可知，利用矩陣的有關(guān)知識解線性方程組的具體步驟為：1)寫出該線性方程組的增廣矩陣 。2)把此增廣矩陣 劃成行簡化階梯形矩陣。3)“讀出”線性方程組的解來。,,12.2線性方程組解的情況的判定12.2.1非齊次線性方程組解的情況的

5、判定,定理1）非齊次線性方程組有解的充分必要條件是 。 2）非齊次線性方程組中當 時有唯一組解。 3）非齊次線性方程組中當 時有無窮多組解。 4）非齊次線性方程組中當 時線性方程組無解。 其中r(A)為系數(shù)矩陣的秩，

6、 為增廣矩陣的秩，n為線性方程組的未知數(shù)的個數(shù)。,,,,,,例 線性方程組 是否有解？若有解，求出其解。解 至此可知： ， 。

7、 因 據(jù)前所述定理知， 此線性方程組無解。,,,,,,,,,,,,,,,,,,例 當a，b為何值時，線性方程組有唯一組解？有無窮多組解？無解？解,,,,,,,,,,,,,,根

8、據(jù)非齊次線性方程組解的情況的判定定理可知1）當 ，且 時， ，方程組無解。2）當 ，且 時， ，方程組有無窮多組解，（方程未知數(shù)個數(shù)為3）。3）當 時，方程組有唯一解。,,,,12.2.2齊次線性方程組解的情況的判定

9、,定理 齊次線性方程組恒有解，它至少有零解，即 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 推論 當 時 齊次線性方程組有非零解。（m代表方程組中方程的個數(shù)，n代表方程組中未知量的個數(shù)）,,,,例 齊次線性方程組是否有非零解？若有，求出一般解。解,,,,,,,,,,,,至此可知 ： ， 由 據(jù)齊次線性方程

10、組的解的情況的判定定理知，方程有非零解。對增廣矩陣 繼續(xù)施以初等行變換接上式有：,,,,,,,,,這個矩陣對應(yīng)的線性方程組為設(shè) （ 為任意常數(shù)），于是得到原線性方程組的一般解為,,,,,12.3 n維向量及其相關(guān)性12.3.1 n維向量,定義1 n個實數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n維向量，一般用 等字母表示

11、 稱為n維行向量，其中 稱為 向量的第i個分量。 稱為n維列向量。其中 稱為 的第i個分量。,,,,,,例 如矩陣

12、 我們可將A的每一行都看成是一個n維行向量。每一行 都是n維行向量，每一列 都是m維列向量。,,,,,,,12.3.2 向量的運算,向量間的運算關(guān)系同矩陣運算完全一致，主要有兩種：加法與數(shù)乘。定義2 兩個n維向量與

13、 的各對應(yīng)分量之和所組成的向量，稱為向量 與 的和，記為 ，,,,,即定義3 n維向量 的各個分量都乘以k（k為一個實數(shù)）所組成的向量，稱為數(shù)k與向量的乘積，記為 ，即,,,,,n維向量 的各分量的相反

14、數(shù)組成的n維向量，稱為 的負向量，記為 即 。 所有分量均為零的向量稱為零向量，記為（0，0，…，0）。 若有兩個n維向量

15、 那么 充分必要條件是 。 一個n維行向量就可以視一個行矩陣，一個n維列向量也可以視為一個列矩陣。,,,,,,定義4 所有n維實向量的集合記為 我們稱為實數(shù)n維向量空間。它是指在 種定義了加法及數(shù)乘這兩種運算。向量的運算規(guī)律如下：（下面設(shè)

16、 都是n維向量k，L表示數(shù)）1） 2） 3） 4）5） 6）7） 8）,,,,,,,,,,,例 設(shè) 求解 例設(shè)

17、 如果向量 滿足 求 。解 已知 所以,,,,,12.3.3 線性組合,定義5 對于向量 ，如果有一組數(shù)

18、 使得 便稱 是 的線性組合，或稱 由 線性表出（或線性表示) 且稱這組數(shù) 為該線性組合的組合系數(shù)。例 證明向量 是向量 ， ，的線性組合并

19、具體用 將 用表示出來。,,,,,,,,證明 先假定 其中 為常數(shù)則 由此可得解這個線性方程組得 ，于是 可以表示為,,,,,,的線性組合，它的表示為定理 向量 可以由向量 線性表示的充分必要條件是：以

20、 為系數(shù)列向量，以 為常數(shù)項向量的線性方程組有解，并且此線性方程組的一組解就是線性組合的一組系數(shù)。 例 判斷向量 與 是否各為向量組 ， 的線性組合。若是，寫出表達式。解 設(shè)

21、 對矩陣 施以初等行變換：,,,,,,,,,秩 ＝秩 因此 可由 線性表示，且由上面的初等變換可知類似地，對矩陣 施以初等行變換：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,秩 ,秩 因此

22、 不能由 線性表示。,,,,,,,,,,,,,,,12.3.4 線性相關(guān)與線性無關(guān) 齊次線性方程組 可以寫成零向量與系數(shù)列向量的如下線性關(guān)系式:上式稱為齊次線性方程組的向量形式，其中,,,（j＝1，2，…，n），都是m維列向量，因為零向量是任意向量組的線性組合，所以齊次現(xiàn)象方程組一定有零解。即

23、 總是成立的。問題是齊次線性方程組除零解外是否還有非零解，即是否存在一組不全為零的數(shù) ，使關(guān)系式 成立。例如,對于向量組,,,,,容易求出 ，于是有

24、具有這種 性質(zhì)的向量組稱為線性相關(guān)的向量組。定義 設(shè) 是n個m維向量，如果存在n個不全為零的數(shù) 使得則稱 這n個向量線性相關(guān)，否則就稱這n個向量線性無關(guān)。 例 下列三個向量（列向量）是否線性相關(guān)？,,,,,,,,,解 不難驗證

25、 因此 是三個線性相關(guān)的三維向量。例 證明：如果向量 組線性無關(guān)，則向量組 亦線性無關(guān)。證明設(shè)有一組數(shù) 使成立，整理得 （1） 由

26、 線性無關(guān)，故 （2）,,,,,,,,因為 故方程組（2）僅由零解，即只有當 時，（1）式才成立，即向量組

27、 線性無關(guān)。12.3.5 線性相關(guān)性的判別定理 設(shè) 是一組n維向量，則這m個向量線性相關(guān)得充分必要條件是其中至少有一個向量可以用其余向量線性表出。,,,,,,,定理 是一組線性相關(guān)的向量，則在這一組向量里再添加若干個向量得到的新的向量組仍使線性相關(guān)的，或換句話說，任一組包含 的

28、向量也一定線性相關(guān)。即“部分相關(guān)整體必相關(guān)”。推論若 是一組線性無關(guān)的向量，則從中取出的任意若干個向量都是線性無關(guān)的。即：“整體無關(guān)部分必?zé)o關(guān)”。定理設(shè)n維向量組 線性無關(guān)，則在每個向量中添加m個分量，得到的n+m維向量組 也線性無關(guān)。,,,,推論設(shè) 是m個k維向量，是

29、其k＋L維接長向量，若 線性相關(guān)，則 必線性相關(guān)。例 已知向量 線性無關(guān)，它們的接長向量 ，也一定線性無關(guān)。例已知向量 線性相關(guān)，這3個向量可分別看作是的接長向量，因此向量組

30、 必線性相關(guān)。,,,,,,,,,12.4 向量組的秩12.4.1 向量組的等價關(guān)系,定義 設(shè)有兩個向量組如果向量組A中的每個向量都能由向量組B中的向量線性表示，則稱向量組A能由向量組B線性表示，如果向量組A能由向量組B線性表示，且向量組B也能由向量組A線性表示，則稱向量組A與向量組B等價。,,向量組之間的等價關(guān)系具有下面三條性質(zhì)：1）反身性：向量組A與向量組A自身等價。2）對稱性

31、：若向量組A與向量組B等價，則B與A等價。3）傳遞行：若向量組A與向量組B等價，向量組B與向量組C等價，則向量組A與向量組C等價。,12.4.2 極大線性無關(guān)組,定義 設(shè)有一族n維向量（其中可能有有限個向量，也可能含有無窮多個向量），如在這一族向量中存在一族向量 適合如下條件：1） 線性無關(guān)2）在原來那一族向量中任意取出一個

32、向量加進去，則 線性相關(guān)。那么稱 是這一族向量的極大線性無關(guān)向量組，簡稱極大無關(guān)組。,,,,例 設(shè)向量組 求其極大無關(guān)組。解因 線性無關(guān)，而 都是 的線性組合 所以 為向

33、量組 的一個極大無關(guān)組。同理， 也是向量組 的一個極大無關(guān)組 亦是向量組 的極大無關(guān)組。,,,,,,,定理1 對于一個向量組，其所有極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)都相同。定義 對于向量組S，其極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組S的秩。例考慮構(gòu)成下列階梯形矩陣 的6個列向量（其中

34、 不為零）顯然，列向量組 ， ， ，是線性無關(guān)的，,,,,,,,,,,,而若再加上一個向量就是線性相關(guān)的，因此這6個列向量構(gòu)成的向量組的秩為4，也就是矩陣A的秩，而極大無關(guān)組就是上述列向量組。定理2 列向量組通過初等行變換不改變線性相關(guān)性。定理3 矩陣A的秩＝矩陣A的列向量組的秩＝矩陣A的行向量組的秩。求一個向量組的秩與極大無關(guān)

35、組的具體步驟如下：1）將這些向量作為矩陣的列構(gòu)成一個矩陣。2）用初等行變換將其化為階梯形矩陣，則階梯型矩陣中非零行的數(shù)目即為向量組的秩。3）首非零元所在列對應(yīng)的原來的向量組即為極大無關(guān)組。,定理4向量組中每一個向量由極大無關(guān)組的向量線性表出的表達式是唯一確定的。12.5 線性方程組解的結(jié)構(gòu)12.5.1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組其矩陣形式為：AX=0其中A為m×n系數(shù)矩陣。,,齊次線性

36、方程組AX＝0其解有如下性質(zhì) ：性質(zhì)1 若 和 為齊次線性方程組AX=0的解，則 亦為其解。性質(zhì)2 若 為齊次線性方程組AX=0的解，則對于任意常數(shù) 亦為其解。 定義1 齊次線性方程組AX=0滿足下列兩個條件的一組解向量，稱為齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系1）這一組解向量線性無關(guān)。2）齊次線性方程組AX＝0的任何一個解都可以用這組

37、解向量線性表示。,,,,,我們將齊次線性方程組AX＝0，其中A為m×n系數(shù)矩陣，其解的結(jié)論歸納如下：1）齊次方程組只有唯一零解的充分必要條件為：2）齊次方程組有非零解的充分必要條件為：3）當 時，齊次方程組有n－r個自由元，它的每一個基礎(chǔ)解系含有n－r個解向量，若 為基礎(chǔ)解系，則 即為

38、齊次方程組AX=0的全部解，其中 為任意常數(shù)，也稱為齊次方程組AX＝0的通解。,,,,,,,下面給出求齊次線性方程組AX=0的解的一般步驟：1）把齊次線性方程組的系數(shù)寫成矩陣A；2）把A通過初等行變換化為階梯形矩陣；3）把階梯形矩陣中不是首非零元所在列對應(yīng)的變量作為自由元共有n-r；4）分別令一個自由元為1，其余全為零，求得n－r個解向量，這n－r個解向量即構(gòu)成AX=0得基礎(chǔ)解系。,例

39、求解下列齊次線性方程組，并求出它得一個基礎(chǔ)解系：解,,,,,,,,于是原方程組可同解地變?yōu)樵O(shè) （ 為任意常數(shù)），于是得到方程組的一般解為,,,,,,,,,,,若令 或 得相應(yīng)的解向量分別為于是 為方程組的基礎(chǔ)解系，其通解為其中

40、 為任意常數(shù) 。,,,,,,,,,12.5.2 非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu),關(guān)于非齊次線性方程組其矩陣形式為：AX=B，其中A為m×n系數(shù)矩陣。,,非齊次線性方程組AX=B 其解有如下性質(zhì)：1）若 為AX=B的解，則 必為AX=0的解。2）若 為AX=B的解， 為AX＝0的解，則必為AX=B的解。由性質(zhì)1）和性質(zhì)2）便可以得到：定理 設(shè) 是

41、非齊次線性方程組AX=B的一個解，則方程組AX=B的任意一個解X可以表示成 與相應(yīng)的齊次線性方程組AX=0的某一個解之和： 。,,,,,,,,,對于非齊次線性方程組AX=B的解的結(jié)構(gòu)就很清楚了，其中A為m×n系數(shù)矩陣，增廣矩陣為 其解的結(jié)論歸納如下：1）AX=B有解的充分必要條件為： 。2）若

42、 ，AX=B的解唯一。3）若 ，AX=B有無窮多組解，有n－r個自由元，若 為線性 方程組AX=B的一個特解， 為相應(yīng)的齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，則方程組AX=B的全部解為：

43、 ，,,,,,,,,其中 為任意常數(shù)，其全部解稱為非齊次線性方程組AX=B的通解。 非齊次線性方程組AX＝B的一個特解加上相應(yīng)的齊次線性方程組AX=0的通解，即為非齊次線性方程組的通解。 求非齊次線性方程組AX＝B（其中A為m×n 矩陣 為增廣矩陣）通解一般步

44、驟是1）將增廣矩陣 通過初等變換化為階梯形矩陣。 2）當 時，把不是首非零元所在列對應(yīng)得 n－r個變量作為自由元。,,,,,,3）令所有自由元為零，求解AX=B得一個特解4）不計最后一列，分別令一個自由元為1，其余自由元為零，得到相應(yīng)齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系5）寫出非齊次線性方程組AX=B的通解 其中

45、 為任意常數(shù)。例 求解下列非齊次線性方程組：,,,,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,由于 線性方程組有無窮多解：取 為自由元，得令 得特解于是所求通解為：其中 為任意常數(shù)。,,,,,,,,小結(jié)1）

46、用高斯消元法求線性方程組的解，n元線性方程組，其矩陣形式為AX=B，A為系數(shù)矩陣，為增廣矩陣，行簡化階梯形矩陣，利用初等行變換求解線性方程組。2）線性方程組解的情況判定：①非齊次n元線性方程組AX=B有解得充分必要條件是a.當 時，有唯一組解。b.當 時，有無窮多組解。c.當

47、 時，線性方程組無解。,,,,,,②n元齊次線性方程組AX=0恒有解。a. n元齊次線性方程組只有零解充分必要條件是 。b. n元齊次線性方程組有非零解充分必要條件是 。c.當齊次線性方程組中方程得個數(shù)m小于未知量的個數(shù)n即 時，齊次線性方程組有非零解。3）n維向量的定義及n維向量的運算。向量組的線性

48、組合（線性表示或線性表出），線性相關(guān)，線性無關(guān)，極大無關(guān)組和向量組的秩等概念，向量組線性相關(guān)性的常用判別方法是先求向量組的秩，,,,,然后根據(jù)向量組的秩是否等于向量的個數(shù)，判別向量組是否線性相關(guān)。 4）求一個向量組的秩與極大無關(guān)組的具體步驟如下：①將這些向量作為矩陣的列構(gòu)成一個矩陣。②用初等行變換將其化為階梯形矩陣，則階梯形矩陣中非零行的數(shù)目，即為向量組的秩。③非零元所在列對應(yīng)的原來的向量組即為極大無關(guān)組。,5）求n元齊次線

49、性方程組AX=0的基礎(chǔ)解解系及通解的一般步驟：①把齊次線性方程組的系數(shù)寫成矩陣A。②把A通過初等行變換化為階梯形矩陣。③把階梯形矩陣中不是首非零元所在列對應(yīng)的變量作為自由元共有n－r。④分別令一個自由元為1，其余全為零，求得n－r個解向量，即構(gòu)成AX=0的基礎(chǔ)解系。⑤它的每一個基礎(chǔ)解系含有n－r個解向量，若 為基礎(chǔ)解系，則

50、 即為X=0的全部解，也稱為通解，其中為任意常數(shù)。,,,,6）求非齊次n元線性方程組AX=B（其中A為m×n矩陣）通解的一般步驟：①將增廣矩陣 通過初等行變換化為階梯型矩陣。②當 時，把不是首非零元所在列對應(yīng)的 n－r個變量作為自由元。③令所有自由元為零，求得AX=B的一個特解 。④不計最后一列，分別令一