分?jǐn)?shù)階微積分-描述記憶特性與中間過(guò)程的數(shù)學(xué)工具

1、在我們熟悉的經(jīng)典微積分里，導(dǎo)數(shù)都是整數(shù)階的，我們說(shuō)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、十階導(dǎo)數(shù)，而不會(huì)說(shuō)函數(shù)的12階導(dǎo)數(shù)或者階導(dǎo)數(shù)；同樣，對(duì)于積分，我們有一重積分、二重積分、或者五重積分等，但沒有23重積分或者重積分等概念。其實(shí)，早在1695年9月30日，法國(guó)數(shù)學(xué)家L’Hospital在給德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz的信件中就提出這樣一個(gè)問(wèn)題:如果采用通常使用的導(dǎo)數(shù)記號(hào)那么當(dāng)時(shí)，這個(gè)表達(dá)式的結(jié)果是什么？Leibniz的回復(fù)是“anapparentpa

2、radoxfromwhich，oneday，usefulconsequenceswillbedrawn”。這大概就是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)概念最早的源頭。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家與其它領(lǐng)域的專家300多年不懈的努力，分?jǐn)?shù)階微積分終于受到科技工作者越來(lái)越多的注意，并逐漸認(rèn)識(shí)到，分?jǐn)?shù)階微積分可能是描述一些復(fù)雜運(yùn)動(dòng)、不規(guī)則現(xiàn)象、記憶特征、中間過(guò)程等方面恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具[15]。本文將對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分作一簡(jiǎn)要介紹，主要回答什么是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)？為什么要引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與分?jǐn)?shù)階積分

3、它們有什么特點(diǎn)和應(yīng)用一分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)泛稱表示階數(shù)取非整數(shù)(不僅僅為分?jǐn)?shù))的導(dǎo)數(shù)它既表示階數(shù)大于零時(shí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在不需要強(qiáng)調(diào)積分特有性質(zhì)時(shí)也可表示階數(shù)小于零時(shí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階積分。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義有多種，最常用有RiemannLiouville導(dǎo)數(shù)和Caputo導(dǎo)數(shù)。在經(jīng)典微積分里，我們可以定義求導(dǎo)運(yùn)算和求積運(yùn)算如下它們滿足如下關(guān)系式這表明，求導(dǎo)運(yùn)算是求積運(yùn)算的左逆運(yùn)算，且這兩種運(yùn)算一般說(shuō)來(lái)不

4、具有交換性。進(jìn)一步，對(duì)任何自然數(shù)有即求導(dǎo)運(yùn)算是求積運(yùn)算的左逆運(yùn)算。現(xiàn)在，對(duì)連續(xù)函數(shù)，反復(fù)應(yīng)用分部積分法可得因此，對(duì)非正整數(shù)，我們可以定義分?jǐn)?shù)階積分進(jìn)一步，對(duì)實(shí)數(shù)，記為不超過(guò)的最大整數(shù)，取，利用導(dǎo)數(shù)與積分的運(yùn)算公式，非整數(shù)階的RiemannLiouville導(dǎo)數(shù)定義為MERGEFMAT(1)如果利用則得到非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的Caputo定義:(2)由定義可知分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)值與起始點(diǎn)的取值有關(guān)。另外，兩種導(dǎo)數(shù)在數(shù)值上可能有差異，因?yàn)橐话愕赜蟹謹(jǐn)?shù)階微積

5、分:描述記憶特性與中間過(guò)程的數(shù)學(xué)工具王在華(中國(guó)人民解放軍理工大學(xué)理學(xué)院211101南京)其中的位移、速度、加速度可分別視為位移的0階導(dǎo)數(shù)、1階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù)，因而在一般情況下，狀態(tài)反饋控制可取為分?jǐn)?shù)階狀態(tài)反饋上述三個(gè)例子可以看作是整數(shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階積分的純形式推廣。實(shí)際上，的確有一些真實(shí)的運(yùn)動(dòng)需要用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來(lái)描述。例如，為描述與無(wú)質(zhì)量的彈簧相連接的剛性薄板豎直浸入到理想流體時(shí)的徑向振動(dòng)Bagley和Tvik提出了如下著名的分?jǐn)?shù)階微分

6、方程[14]其中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)表示阻尼。從能量耗散的角度看對(duì)任何方程中的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都可以看作是阻尼[6]。三分?jǐn)?shù)階微積分的特點(diǎn)與應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分的特點(diǎn)與應(yīng)用幾何上曲線的光滑程度可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)刻畫?？汕髮?dǎo)數(shù)的階數(shù)越高曲線越光滑。宏觀上光滑的曲線在微觀上可能不光滑。描述不光滑曲線的光滑程度就可以采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。對(duì)滿足以及的實(shí)數(shù)和奇數(shù)著名的Weiestrass函數(shù)是處處連續(xù)且處處不可導(dǎo)的但它具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。一般說(shuō)來(lái)具有分形幾何特征的函數(shù)存在分?jǐn)?shù)

7、階導(dǎo)數(shù)[7]。大氣湍流速度場(chǎng)是不可微的風(fēng)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)不能用NavierStokes方程組來(lái)刻畫此時(shí)分?jǐn)?shù)階微積分可以發(fā)揮作用[5]。非線性動(dòng)力學(xué)、混沌理論以及分形理論的發(fā)展大大推動(dòng)了分?jǐn)?shù)階微積分的研究今后仍然是分?jǐn)?shù)階微積分的重要發(fā)展方向之一。粘彈性理論是分?jǐn)?shù)階微積分目前應(yīng)用最廣泛的方向之一[1]取得了大量的研究成果各類粘彈性阻尼振動(dòng)問(wèn)題以及非穩(wěn)態(tài)波問(wèn)題方面的應(yīng)用可參考長(zhǎng)篇綜述論文[8]。用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)描述的阻尼不僅改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也改變系

8、統(tǒng)的振動(dòng)頻率[6]。另外，基于經(jīng)典微積分描述的力學(xué)“變分原理”不能直接應(yīng)用于具有摩擦或其它耗散過(guò)程的非保守系統(tǒng)，但如果將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入到Lagrange函數(shù)，則可對(duì)非保守系統(tǒng)直接建立變分原理[9]。分?jǐn)?shù)階微積分使得Lagrange力學(xué)、Hamilton力學(xué)、HamiltonJacobi理論、量子波理論等在同一框架下完整地得到描述[9]。分?jǐn)?shù)階微積分在非Newton流體力學(xué)、量子力學(xué)、生物力學(xué)、反常擴(kuò)散與隨機(jī)游走等理論中有許多重要應(yīng)用[5

9、][10]。分?jǐn)?shù)階微積分的另一個(gè)重要應(yīng)用方向是控制理論[14].人們將經(jīng)典的PID控制推廣為分?jǐn)?shù)階控制[3][4]大大擴(kuò)充了控制器的設(shè)計(jì)范圍并且發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階狀態(tài)反饋控制比經(jīng)典狀態(tài)反饋控制更精確而且具有諸多良好的控制性能如對(duì)增益變化有很好的魯棒性、能抗高頻噪聲、易于消去靜態(tài)誤差等等[4]。分?jǐn)?shù)階控制的應(yīng)用包括:車輛主動(dòng)懸架、液壓作動(dòng)器、柔性機(jī)械臂、機(jī)器人等諸多運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題[4][11].另外分?jǐn)?shù)階Fourier變換是一種統(tǒng)一的時(shí)頻變換在信號(hào)

10、分析與處理中具有獨(dú)特性與優(yōu)越性在信號(hào)檢測(cè)與重構(gòu)、濾波、圖像處理等方面具有較廣泛的應(yīng)用[12]。相對(duì)于經(jīng)典微積分分?jǐn)?shù)階微積分更加復(fù)雜一是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算復(fù)雜二是含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)。這種復(fù)雜性一方面限制了分?jǐn)?shù)階微積分的廣泛應(yīng)用另一方面又為復(fù)雜系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)的研究帶來(lái)了新的機(jī)遇。隨著理論與應(yīng)用研究的進(jìn)一步深化分?jǐn)?shù)階微積分必將在具有記憶特征或中間過(guò)程等問(wèn)題的研究中發(fā)揮更大的作用.也許分?jǐn)?shù)階微積分是二十一世紀(jì)的微積分[2]。致謝:

11、本文得到國(guó)家杰出青年科學(xué)基金項(xiàng)目10825207的資助。參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1.PodlubnyI.FractionalDifferentialEquationsSanDiego:AcademicPress1999.2.DasS.FunctionalFractionalCalculusfSystemIdentificationControlsBerlin:SpringerVerlag20083.CapotoR.DongolaG.FtunaL

12、PetrasI.FractionalderSystems:ModelingControlApplicationsNewJersey:WldScientific2010.4.MonjeC.A.ChenY.Q.VinagreB.M.XueD.Y.FeliuV.FractionalderSystemsControls:FundamentalsApplicationsLondon:SpringerVerlag2010.5.徐明瑜譚文長(zhǎng).中間過(guò)程