《最短路徑問題》練習(xí)題

1、13.413.4課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí)最短路徑問題最短路徑問題六街中學(xué)：羅云臏六街中學(xué)：羅云臏1最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA＋CB最短，這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)

2、即為所求如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA＋CB最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，則點(diǎn)C是直線l與AB′的交點(diǎn)為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′，證明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：證明：由作圖可知，點(diǎn)B和B′關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l是線段BB′的垂直平分線因?yàn)辄c(diǎn)C與C′在直線l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，

3、AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在圖中直線l上找到一點(diǎn)M，使它到A，B兩點(diǎn)的距離和最小分析：分析：先確定其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，與直線l的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)解：解：如圖所示：(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；(2)連接AB′交直線l于點(diǎn)M.(3)則點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)點(diǎn)撥：運(yùn)用軸對(duì)稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然

4、后用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問題.思路導(dǎo)引：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應(yīng)是余下的路程，連接BC的線段即為最短的，此時(shí)不難說明點(diǎn)N即為建橋位置，MN即為所建的橋解：解：(1)如圖2，過點(diǎn)A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬(2)連接BC與河岸的一邊交于點(diǎn)N.(3)過點(diǎn)N作河岸的垂線交另一條河岸于點(diǎn)M.則MN為所建

5、的橋的位置4生活中的距離最短問題由兩點(diǎn)之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運(yùn)用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個(gè)問題，運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì)，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段，如圖，AO＋BO＝AC的長(zhǎng)所以作已知點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)是解決這類問題的基本方法【例4】(實(shí)際應(yīng)用題)茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，A

6、O桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？圖a圖b解：解：如圖b.(1)作C點(diǎn)關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C1，作D點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D1，(2)連接C1D1，分別交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路線行走，所走的總路程最短5.運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離之差最大問題利用軸對(duì)稱和三角形的三邊關(guān)系是解決幾何中的最大值問題的關(guān)鍵先做出其中一點(diǎn)關(guān)于

7、對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，所得直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即為所求根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值破疑點(diǎn)解決距離的最值問題的關(guān)鍵運(yùn)用軸對(duì)稱變換及三角形三邊關(guān)系是解決一些距離的最值問題的有效方法【例5】如圖所示，A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，在l上找一點(diǎn)C，使點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離之差最大分析：分析：此題的突破點(diǎn)是作點(diǎn)A(或B)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′(或B′)，作直線A′B(AB′)與直線l交于點(diǎn)C，把