最短路徑問(wèn)題ppt演示課件

1、13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題,.,2,如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？,兩點(diǎn)之間,線段最短,①②③,.,3,(Ⅰ)兩點(diǎn)在一條直線異側(cè),已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。,,P,連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P ，就是所求。,.,4,思考？？？為什么這樣做就能得到最短距離呢？,根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.,引言： 　前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的

2、所有連線中，線 段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn) 題．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié) 將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”．,引入新知,,,,,,,,問(wèn)題1　相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：　　從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B

3、 地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？,,探索新知,,,,,,,,精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的 知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬 問(wèn)題”．　　你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？,探索新知,,追問(wèn)1　這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？,將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直 線．,探索新知,,（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處

4、，把這些地點(diǎn)與A， B 連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A 地 到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和；,探索新知,追問(wèn)2　你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？,,,探索新知,追問(wèn)2　你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？,（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最 短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上 面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化

5、為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，　　 AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D）．,追問(wèn)1　對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B′處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB′的長(zhǎng)度相等？,探索新知,問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最小？,追問(wèn)2　你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B′嗎？,探索新知,問(wèn)題2 如圖，

6、點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB的和最?。?,作法：（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱 點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l 相交 于點(diǎn)C． 則點(diǎn)C 即為所求．,探索新知,問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最??？,,探索新知,問(wèn)題3　你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC

7、 +BC最短嗎？,證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C 不重合），連接AC′，BC′，B′C′． 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′．,,探索新知,問(wèn)題3　你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？,,探索新知,問(wèn)題3　你

8、能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？,證明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′．　　即　AC +BC 最短．,,若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離和都大于AC +BC，就說(shuō)明AC + BC 最?。?探索新知,追問(wèn)1　證明AC +BC 最短時(shí)，為什么要在直線l 上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C 不重合），證明AC +BC ＜AC′+BC′？這里的“C

9、′”的作用是什么？,,探索新知,追問(wèn)2　回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的 過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？,.,19,1. 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）,.,20,,我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？,思維火花,各抒己見(jiàn),1、把A平移到岸邊.,2、把B平移到岸邊.,3、把橋平

10、移到和A相連.,4、把橋平移到和B相連.,.,21,上述方法都能做到使AM+MN+BN不變嗎？請(qǐng)檢驗(yàn).,合作與交流,1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？,把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng),那么怎樣確定橋的位置呢?,.,22,問(wèn)題解決,,A1,,,,,M,N,如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.,理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.,,,,,Ｎ１,Ｍ１,由平移

11、性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.,AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.,在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由三角形三邊關(guān)系知A1N1+BN1＞A1B,因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN,.,23,(Ⅲ)一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.,,,,