軸對稱——最短路徑問題

1、1優(yōu)學(xué)小班優(yōu)學(xué)小班——提分更快、針對更強(qiáng)、時效更高提分更快、針對更強(qiáng)、時效更高名師堂學(xué)校優(yōu)學(xué)小班講義軸對稱——最短路徑問題現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)遵循《標(biāo)準(zhǔn)》的理念，以“生活?數(shù)學(xué)”“活動?思考”為主線展開課程內(nèi)容，注重體現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，其中最短路徑問題就是這一方面知識與能力的綜合運(yùn)用，其原型來自于“飲馬問題”、“造橋選址問題”，出題背景有角、三角形、平行四邊形、坐標(biāo)軸、拋物線等。下面就對上述類型做一個簡單的歸納。例1如圖，牧童在A處放馬，其

2、家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD，若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，最短距離是多少米？分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和“兩點(diǎn)之間線段最短”，連接A′B，得到最短距離為A′B，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，即可求出AB的值A(chǔ)′B=1000米故最短距離是1000米例2如圖，正方形ABCD，AB邊上有一點(diǎn)E，AE=3，EB=1，在AC上有一點(diǎn)P，使EPB

3、P為最短求：最短距離EPBP分析：此題中，點(diǎn)E、B的位置就相當(dāng)于例1中的點(diǎn)A、B，動點(diǎn)P所在有直線作為對稱軸相當(dāng)于例1中的小河。故根據(jù)正方形沿對角線的對稱性，可得無論P(yáng)在什么位置，都有PD=PB；故均有EPBP=PEPD成立；所以原題可以轉(zhuǎn)化為求PEPD的最小值問題，分析易得連接DE與AC，求得交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)的位置名師堂校區(qū)地址：南充咨詢電話：3此題中的PN就相當(dāng)于“造橋選址問題”中的橋，其思路與上題是一樣的。通過構(gòu)造平行四邊形和軸對

4、稱將折線轉(zhuǎn)之和最短轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短至于“拋物線”這一類型的問題，由于綜合性較強(qiáng)，這里就不介紹了。但中縱觀上述幾題我們不難發(fā)現(xiàn)，這一類題型的解題思路是一樣的：找到關(guān)于線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一性質(zhì)來解決。攀登高峰攀登高峰——綜合提升綜合提升1、（一定點(diǎn)兩線型）如圖，∠AOB=30，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P且OP=10.在OA上有一點(diǎn)QOB上有一點(diǎn)R.畫出周長最小的△PQR，并求出最小周長。２、（兩定點(diǎn)兩

5、線型）已知：∠MON和∠MON內(nèi)兩點(diǎn)A，B求作：點(diǎn)C和點(diǎn)D，使得點(diǎn)C在OM上，點(diǎn)D在ON上，且ACCDBD＋AB最短提示：用1題的解答可以幫助分析出2題的解答談?wù)勈斋@談?wù)勈斋@——自我反思自我反思想一想這節(jié)課你有什么收獲想一想這節(jié)課你有什么收獲答：答：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題課堂檢測課堂檢測如圖:在邊長為2的正三角形ABC中E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個動點(diǎn)，連接BP，GP，則