13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題1

1、13．4 課題學(xué)習(xí) 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題 最短路徑問題1．能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．(重點(diǎn))2．利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入相傳，古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的 A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊 l 飲馬，然后到 B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全

2、程最短？二、合作探究探究點(diǎn)：最短路徑問題【類型一】 兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短如圖所示，在河 a 兩岸有 A、B 兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要在河上修建一座大橋，為方便交通，要使橋到這兩村莊的距離之和最短，應(yīng)在河上哪一點(diǎn)修建才能滿足要求？(畫出圖形，做出說明)解析：利用兩點(diǎn)之間線段最短得出答案．解：如圖所示，連接 AB 交直線 a 于點(diǎn) P，此時(shí)橋到這兩村莊的距離之和最短．理由：兩點(diǎn)之間線段最短．方法總結(jié)：求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最

3、小的問題，只要連接這兩如圖所示，A，B 兩點(diǎn)在直線 l 的兩側(cè)，在 l 上找一點(diǎn) C，使點(diǎn) C 到點(diǎn) A、B 的距離之差最大．解析：此題的突破點(diǎn)是作點(diǎn) A(或 B)關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) A′(或 B′)，作直線A′B(AB′)與直線 l 交于點(diǎn) C，把問題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來解決．解：如圖所示，以直線 l 為對稱軸，作點(diǎn) A 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) A′，A′B 的連線交l 于點(diǎn) C，則點(diǎn) C 即為所求．理由：在直線

4、l 上任找一點(diǎn) C′(異于點(diǎn) C)，連接 CA，C′A，C′A′，C′B.因?yàn)辄c(diǎn) A，A′關(guān)于直線 l 對稱，所以 l 為線段 AA′的垂直平分線，則有 CA＝CA′，所以 CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因?yàn)辄c(diǎn) C′在 l 上，所以 C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以 C′A′－C′B＜CA－CB.方法總結(jié)：如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大，如果

5、兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個(gè)點(diǎn)的對稱點(diǎn)來解決．三、板書設(shè)計(jì)課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題1．求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求．2．求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求．通過本節(jié)