色散方程的一類高精度并行算法.pdf

1、色散方程作為重要的數(shù)學(xué)物理方程之一一直受到業(yè)內(nèi)人士的普遍關(guān)注，在非線性波及孤立子理論的物理問(wèn)題中，也一直占有相當(dāng)重要的位置.鑒于色散方程在物理領(lǐng)域重要的應(yīng)用價(jià)值，人們已經(jīng)開(kāi)始廣泛的關(guān)注其數(shù)值解法的研究，許多專家、學(xué)者在這方面也已經(jīng)做了不少作，例如文獻(xiàn)（[1-13]）其中，文獻(xiàn)（[4]）詳細(xì)討論了各種差分格式及其相應(yīng)的穩(wěn)定性情況.這些差分格式可分為顯式格式和隱式格式兩大類。我們知道顯格式形式簡(jiǎn)單并適于并行計(jì)算，但其穩(wěn)定性條件通常比較苛刻、

2、不易實(shí)現(xiàn).盡管人們?cè)诜€(wěn)定性條件方面做過(guò)一些改進(jìn)（[7，8]），但是這些改進(jìn)還是極其有限的。比如文獻(xiàn)（[5]）討論了一類兩參數(shù)的恒穩(wěn)顯格式，但是參數(shù)的選擇還是要滿足比較復(fù)雜的條件的。相對(duì)于顯格式而言，隱式格式雖然具有穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)，然而它卻不能直接應(yīng)用于并行計(jì)算。隨著信息時(shí)代的到來(lái)和計(jì)算機(jī)的蓬勃發(fā)展，并行計(jì)算以其快速解決大型且復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題的特點(diǎn)迅速吸引了很多業(yè)內(nèi)人士的普遍關(guān)注（[10-37]），因此，怎樣找到一個(gè)穩(wěn)定的、適合并行計(jì)算的數(shù)

3、值求解方法，便成了相關(guān)研究人員亟待解決的重要問(wèn)題. 關(guān)于交替分組算法的研究是隨著并行數(shù)值計(jì)算在計(jì)算機(jī)上的廣泛應(yīng)用而逐步深入的，目前，兩類主要的并行算法就是：交替分組方法（[2，4，9-24]）和區(qū)域分裂算法（[38-49，63，64，66]）前者是無(wú)條件穩(wěn)定的，所以我們通?？梢圆捎帽容^大的時(shí)間步長(zhǎng)，而后者是條件穩(wěn)定的，因此，在使用過(guò)程中，我們通常需要選取比較小的時(shí)間步長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行計(jì)算.交替分組方法已成為行之有效的并行數(shù)值算法之一，它

4、不但是絕對(duì)穩(wěn)定的，而且還具有本質(zhì)并行的特性.例如，拋物方程的并行差分解法已經(jīng)在很多文獻(xiàn)中被廣泛研究（[15，23，25，63-67]），關(guān)于擴(kuò)散方程和對(duì)流.擴(kuò)散方程的并行差分算法的研究也已經(jīng)有了不少成果（[15-17，19-21]），近些年來(lái)，交替分組方法的研究和應(yīng)用又逐漸擴(kuò)展到了三階色散方程、KdV方程等領(lǐng)域（[1-13，22，50]） 不過(guò)，對(duì)于三階色散偏微分方程而言，這樣的并行差分算法并不多見(jiàn). 早在1983年，E

5、vans和Abdullah首先提出了交替分組顯式算法（AGE）（[15，16]），后來(lái)，張寶林提出了交替分段顯隱算法（ASEI）（[19]）2000年以來(lái)，朱少紅又將交替分組顯式算法（AGE）推廣到了三階色散方程的求解過(guò)程中來(lái)（[11，12]）我們談到的這些算法都是無(wú)條件穩(wěn)定的，并且可以并行計(jì)算（隨著計(jì)算機(jī)的蓬勃發(fā)展，并行計(jì)算也越來(lái)越多的被人們關(guān)注），不過(guò)，這些算法在空間上的收斂階都只能接近2階. 眾所周知，提高數(shù)值解的精度也一

6、直是數(shù)值解法研究人員的一個(gè)重要的目標(biāo)和努力方向（[50-62]），這也是我們?cè)谇蠼饫碚搯?wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題過(guò)程中都不會(huì)改變的追求. 綜上所述，本文作者在導(dǎo)師的悉心指導(dǎo)和精心培育下，提出了一類求解具有周期邊界條件的色散方程的高精度、可并行、絕對(duì)穩(wěn)定的算法. 在論文的第一章，作者介紹了色散方程的高精度并行迭代法. 在論文的第二、三章中，我們將給出四類Saul’yev型非對(duì)稱差分格式來(lái)求解色散方程.基于這些Saul’ye

7、v型格式，我們又分別給出了求解帶周期邊界條件的色散方程的新的交替六點(diǎn)分組算法、新的高精度的交替顯隱算法、高精度交替十二點(diǎn)分組算法以及4階交替分段Crank-Nicolson算法.這四個(gè)新算法不僅具有無(wú)條件穩(wěn)定和能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算的特點(diǎn)，而且它們?cè)诳臻g上都具有4階精度.通過(guò)數(shù)值算例，我們也容易看到，數(shù)值結(jié)果和理論分析是一致的。數(shù)值算例說(shuō)明，新算法們?cè)诰群头€(wěn)定性上都優(yōu)于算法AGE（[11]）和ASEI（[12]） 論文的部分

8、內(nèi)容已在國(guó)際國(guó)內(nèi)刊物上公開(kāi)發(fā)表（[68-72]） 全文共分為三章： 第一章介紹色散方程的高精度并行迭代法. 本章導(dǎo)出了一種數(shù)值求解色散方程的高精度交替分組迭代格式，此格式收斂速度快并可以在并行計(jì)算機(jī)上直接應(yīng)用. 本章內(nèi)容公開(kāi)發(fā)表在（[71]） 第二章介紹色散方程基于6點(diǎn)差分格式的高精度并行算法. 在第一節(jié)中，我們介紹了色散方程的高精度交替6點(diǎn)分組算法. 本節(jié)，我們將給出一類Saul

9、’yev型非對(duì)稱差分格式來(lái)求解色散方程.基于這些Saul’yev型格式，我們給出了求解帶周期邊界條件的色散方程的新的交替六點(diǎn)分組算法.這個(gè)新算法不僅具有無(wú)條件穩(wěn)定和能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算的特點(diǎn)，而且它在空間上具有4階精度.通過(guò)數(shù)值算例，我們也容易看到，數(shù)值結(jié)果和理論分析是一致的。數(shù)值算例說(shuō)明，新算法在精度和穩(wěn)定性上都優(yōu)于算法AGE（[11]） 在第二節(jié)中，介紹了色散方程的一類新的高精度交替分組顯隱算法. 本節(jié)針對(duì)色散方

10、程提出的nAGEI新方法不但絕對(duì)穩(wěn)定、本質(zhì)并行，而且誤差分析和數(shù)值試驗(yàn)表明，其數(shù)值解關(guān)于空間步長(zhǎng)的收斂速度幾乎是4階的。通過(guò)與AGE（[11]）和ASEI（[12]）等方法的數(shù)值比較，我們?nèi)菀卓吹奖疚姆椒ù_實(shí)具有更高的精度.本節(jié)內(nèi)容已在《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)》發(fā)表，請(qǐng)見(jiàn)[69]. 第三章介紹了色散方程基于12點(diǎn)差分格式的高精度并行算法. 在第一節(jié)中，我們介紹了色散方程的高精度交替12點(diǎn)分組算法. 近年來(lái)，隨著并行計(jì)算機(jī)

11、的發(fā)展，并行數(shù)值計(jì)算也越來(lái)越多的受到人們的關(guān)注和重視。像區(qū)域分裂算法一樣（[38-49，63，64，66]），交替分組方法也因其絕對(duì)穩(wěn)定、本質(zhì)并行的特點(diǎn)而日漸成為行之有效的并行數(shù)值方法之一.1983年，Evans首先提出了交替分組顯方法（AGE）（[15-16]），歷經(jīng)近20年的發(fā)展，交替分組算法的思想已經(jīng)被成功運(yùn)用到求解擴(kuò)散方程（[15-17，19-21]）、色散方程（[1-13]）以及Kdv（[22，50]）方程等方程中去.但是，在

12、已有交替分組方法材料中，它們的數(shù)值解在空間上都是有接近2階的收斂速度.我們?cè)诒竟?jié)給出的新算法不僅仍然具有絕對(duì)穩(wěn)定、本質(zhì)并行的優(yōu)良特性，而且我們隨后的截?cái)嗾`差分析和數(shù)值算例將表明新算法的數(shù)值解在空間上具有接近4階的收斂速度.我們?cè)跀?shù)值算例中給出了本節(jié)算法與已有算法AGE（[11]）的數(shù)值比較. 在第二節(jié)中，我們介紹了色散方程的一類4階交替分段Crank-Nicolson算法. 在本節(jié)，我們將給出一個(gè)新的4階nASCN算法來(lái)

13、求解色散方程，這個(gè)算法不僅絕對(duì)穩(wěn)定，而且可以直接應(yīng)用到并行計(jì)算中去.事實(shí)上，交替分組方法是隨著并行計(jì)算機(jī)的發(fā)展而蓬勃發(fā)展起來(lái)的。目前，兩類主要的并行算法就是：交替分組方法（[2，4，9-24]）和區(qū)域分裂算法（[38-49，63，64，66]）前者是無(wú)條件穩(wěn)定的，所以我們通常可以采用比較大的時(shí)間步長(zhǎng)，而后者是條件穩(wěn)定的，因此，在使用過(guò)程中，我們通常需要選取比較小的時(shí)間步長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行計(jì)算.1983年，Evans率先提出了交替分組顯式計(jì)算方法（

14、AGE），此后，又有人提出了交替分組顯隱算法（ASEI）以及交替分段Crank-Nicolson（[19，20]）（ASCN）算法.近年來(lái)，我們也開(kāi)始看到交替分組方法被應(yīng)用到求解色散方程、Kdv方程等方程中.不過(guò)，在已看到的交替分組算法文獻(xiàn)中，幾乎所有算法的數(shù)值解在空間上都只能接近2階.新算法nASCN不僅格式無(wú)條件穩(wěn)定，而且還具有本質(zhì)并行的特點(diǎn).此外，我們隨后的截?cái)嗾`差分析和數(shù)值試驗(yàn)表明新算法可在空間上達(dá)到4階收斂，這比已知的AGE（