不定最小二乘問題和近似因子模型的相關研究.pdf

1、不定最小二乘問題不僅可以作為一般最小二乘問題的一種推廣形式，同時H估計和控制，風險敏感估計和控制(risk-sensitive estiamtion and control)，有限記憶自適應濾波(finite memory adaptive filtering)等控制論問題都可以統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化成不定最小二乘問題來研究.因此關于不定最小二乘問題展開研究是有價值和意義的。另外，我們還對因子模型作了一些討論。由于嚴格因子模型不能很好的刻畫變量之間

2、的聯(lián)系，而且在高維的情況下，現(xiàn)有的樣本量不足以給出一個好的估計，這些因素促使關于近似因子模型的研究變得日益活躍起來。
　　第二章是預備知識部分，我們首先給出一些基本定義，再在此基礎上給出條件數(shù)的統(tǒng)一定義形式。另外，一些必要的引理和概念也在這里給出，同時我們還證明了一些文章中要使用的基本定理。
　　在第三章和第四章中，我們討論了不定最小二乘問題及其線性約束情況的條件數(shù)?；跀?shù)據(jù)空間上定義的乘積范數(shù)，我們首先給出其條件數(shù)的統(tǒng)一定

3、義形式，然后在此新的框架下建立不定最小二乘問題條件數(shù)的精確表達式.作為其特殊情況，我們還給出了范數(shù)型，混合型和分量型條件數(shù)的具體表達式。在2-范數(shù)的情況下，我們給出了幾種具有存儲和計算優(yōu)勢的各類最小二乘問題條件數(shù)的等價形式。在第三章中，根據(jù)不定最小二乘問題與整體最小二乘問題之間的聯(lián)系，我們從不定最小二乘問題的角度重新推導了整體最小二乘問題的條件數(shù)表達式。在第四章，我們給出了推導各類線性最小二乘問題及其約束情況的條件數(shù)表達式所使用的統(tǒng)一技

4、巧。我們的方法不再借助于奇異值分解，不需要各種復雜的構造技巧，具有一定的普適性。同時，我們還研究了系數(shù)矩陣具有特殊結(jié)構的各類最小二乘問題，建立了相應的結(jié)構型條件數(shù)的表達式。針對大型矩陣精確計算條件數(shù)過于耗時的問題，我們提出了基于概率統(tǒng)計方法的幾種估計條件數(shù)的算法。最后，我們通過隨機數(shù)值實驗來檢驗這幾種算法估計條件數(shù)的效率，另外還對不同條件數(shù)之間的差異做了比較。
　　第五章，我們研究了近似因子模型的估計問題。由于目前關于近似因子模型

5、的懲罰似然估計方法不能保證誤差協(xié)方差矩陣的正定性，而且現(xiàn)有文獻中基于極大似然方法估計協(xié)方差矩陣通常是使用ADMM方法來保證協(xié)方差陣的正定性。但是ADMM方法需要選取懲罰參數(shù)，而懲罰參數(shù)又對實際計算中算法的收斂速度有著不可忽視的影響。為了克服這些困難，我們提出了一種新的算法，該算法能在保證誤差協(xié)方差矩陣正定性的同時，還有著較快的收斂速度。通過數(shù)值模擬，我們發(fā)現(xiàn)保證誤差協(xié)方差矩陣的正定性可以提高近似因子模型的估計效率和預測精度，而且根據(jù)協(xié)方