利用角平分線構(gòu)造全等三角形

1、善于構(gòu)造善于構(gòu)造活用性質(zhì)活用性質(zhì)安徽張雷幾何問(wèn)題中幾何問(wèn)題中若出現(xiàn)角平分線這一條件時(shí)若出現(xiàn)角平分線這一條件時(shí)可聯(lián)想角平分線的特性可聯(lián)想角平分線的特性靈活利用角平分線靈活利用角平分線的特性來(lái)解決問(wèn)題的特性來(lái)解決問(wèn)題.1.顯“距離距離”用性質(zhì)用性質(zhì)很多時(shí)候很多時(shí)候題意中只給角平分線這個(gè)條件題意中只給角平分線這個(gè)條件圖上并沒(méi)有出現(xiàn)圖上并沒(méi)有出現(xiàn)“距離距離”而角平分線性而角平分線性質(zhì)的運(yùn)用又離不開(kāi)這個(gè)質(zhì)的運(yùn)用又離不開(kāi)這個(gè)“距離距離”所以同學(xué)們應(yīng)

2、大膽地讓所以同學(xué)們應(yīng)大膽地讓“距離距離”現(xiàn)身（過(guò)角平分線上現(xiàn)身（過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段）的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段）例：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，你知道這是為什么嗎？分析分析：我們知道兩條直線是交于一點(diǎn)的，因此可以想辦法證明第三條角平分線通過(guò)前兩條角平分線的交點(diǎn)已知：如圖，△ABC的角平分線AD與BE交于點(diǎn)I，求證：點(diǎn)I在∠ACB的平分線上證明證明：過(guò)點(diǎn)I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分別是點(diǎn)H、G、F∵點(diǎn)I

3、在∠BAC的角平分線AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）同理IH=IF∴IG=IF（等量代換）又IG⊥AC、IF⊥BC∴點(diǎn)I在∠ACB的平分線上（到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）.即：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)【例2】已知：如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F求證：BP為∠MBN的平分線【分析】要證BP為

4、∠MBN的平分線，只需證PD=PF，而PA、PC為外角平分線，故可過(guò)P作PE⊥AC于E根據(jù)角平分線性質(zhì)定理有PD=PE，PF=PE，則有PD=PF，故問(wèn)題得證【證明】過(guò)P作PE⊥AC于E∵PA、PC分別為∠MAC與∠NCA的平分線且PD⊥BM，PF⊥BN∴PD=PE，PF=PE∴PD=PF又∵PD⊥BM，PF⊥BN∴點(diǎn)P在∠MBN的平分線上，DCBAEHIFG∵BD⊥CF（已知）∴∠BDC=∠BDF=90∵BD平分∠ABC（已知）∴∠1

5、=∠2在△BCD和△BFD中21()()()BDBDBDCBDF????????????公公公公公公公∴△BCD≌△BFD（ASA）∴CD=FD，即CF=2CD∵∠5=∠4=90，∠BDF=90∴∠3∠F=90，∠1∠F=90?！唷?=∠3。在△ABE和△ACF中4513()ABAC????????????公公∴△ABE≌△ACF（ASA）∴BE=CF，∴BE=2CD。例6.如圖，已知AC∥BD、EA、EB分別平分∠CAB和△DBA，C