正則性理論的新方法及其在非線性偏微分方程組和擬凸積分中的應(yīng)用.pdf

1、弱解的正則性理論是近代偏微分方程領(lǐng)域極具挑戰(zhàn)性從而倍受關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，其研究歷史悠久。早在1900年在巴黎召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，D.Hilbert提出的著名的23個(gè)公開(kāi)問(wèn)題中就有兩個(gè)(問(wèn)題第19和第20個(gè))是對(duì)解的正則性的敘述，凸現(xiàn)了正則性理論研究的難度與重要意義。 部分正則性研究的經(jīng)典方法是“凝固系數(shù)法”，即：通過(guò)“凝固系數(shù)”得到常系數(shù)方程組，再把解跟由“凝固系數(shù)”后得到的常系數(shù)方程組所構(gòu)成的Dirichlet問(wèn)題的解進(jìn)

2、行比較，得到重要的衰減(Decay)估計(jì)(也稱單調(diào)性不等式)并進(jìn)行常規(guī)的迭代，從而推出部分正則性結(jié)果.其中需要用到復(fù)雜而繁瑣的反Holder不等式或Gehring引理，更令人感到遺憾的是由此所得到的部分正則性不是最優(yōu)的，即:Holder正則性指標(biāo)低于已知系數(shù)函數(shù)的Holder連續(xù)性務(wù)件中的指標(biāo)。且奇異集大小的估計(jì)不夠精確. 因此，本文采用部分正則性研究的新方法-A-調(diào)和逼近方法。來(lái)研究具有可控增長(zhǎng)條件和自然增長(zhǎng)條件的非線性偏微分

3、方程組弱解的部分正則性。這種新方法是通過(guò)A-調(diào)和逼近引理架起A-調(diào)和函數(shù)和非線性偏微分方程組之間的橋梁。使得我們能夠根據(jù)文章的實(shí)際需要構(gòu)造某個(gè)跟弱解u相關(guān)的特定函數(shù)，通過(guò)A-調(diào)和逼近引理，揭示了存在這樣的A-調(diào)和函數(shù)在L2意義下跟該特定函數(shù)靠得非常近，從而可以利用A-調(diào)和函數(shù)那些好的性質(zhì)，推出需要的衰減(Decay)估計(jì)，由此得到部分正則性結(jié)果. “A-調(diào)和逼近方法”和經(jīng)典的“凝固系數(shù)法”關(guān)鍵的差別是：解是與在L2意義下跟我們構(gòu)

4、造的特定函數(shù)充分靠近的A-調(diào)和函數(shù)進(jìn)行比較，而不是跟由。凝固系數(shù)。后得到的常系數(shù)方程組所構(gòu)成的Dirichlet問(wèn)題的解進(jìn)行比較的.這種新方法不但大大簡(jiǎn)化了證明過(guò)程，更重要的是得到了最優(yōu)部分正則性結(jié)果. 本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)是(文中m表示的是弱解u的梯度Du的增長(zhǎng)指標(biāo)): (1)對(duì)具有自然增長(zhǎng)條件的偏微分方程組，由于弱解u的有界性，即，｜U｜≤M<∞。使得它的處理方法比具有可控增長(zhǎng)條件的情形簡(jiǎn)單多了，但我們所得到的在自然增長(zhǎng)

5、條件下弱解的奇異集大小比前人所得到的要精確得多。 (2)據(jù)我們所了解，在可控增長(zhǎng)條件下非線性偏微分方程組弱解的部分正則性此前并沒(méi)有好的結(jié)果，甚至連m≡2時(shí)的Caccioppoli第二不等式都沒(méi)有人證明過(guò)，更不用說(shuō)m>2或1

6、成功地處理了當(dāng)m>2時(shí)非線性橢圓方程組弱解的最優(yōu)部分正則性問(wèn)題，而且對(duì)1

7、組、非線性拋物方程組、退縮橢圓方程組、穩(wěn)態(tài)的Navier-Stokes方程組的弱解以及擬凸積分極小的部分正則性.具體如下： 1、非線性橢圓方程組當(dāng)m>2時(shí)，本文采用A-調(diào)和逼近方法得到了弱解的最優(yōu)部分正則性結(jié)果.但是，由于A-調(diào)和逼近技巧只能夠處理m≡2的情形，而對(duì)m≠2的情況束手無(wú)策，本文通插值技巧解決了這個(gè)問(wèn)題。 當(dāng)1

8、和逼近方法使得我們可以繼續(xù)對(duì)這類(lèi)非線性橢圓方程組弱解的部分正則性問(wèn)題進(jìn)行探討。然而此刻卻出現(xiàn)了積分函數(shù)的指數(shù)-1/2

9、橢圓方程組本部分特別將A-調(diào)和逼近技巧改進(jìn)為p-調(diào)和逼近方法來(lái)研究退縮橢圓方程組弱解的最優(yōu)部分正則性問(wèn)題.然而，由于可控增長(zhǎng)條件本身的特點(diǎn)和弱解u沒(méi)有有界性條件，使得對(duì)該方程組的最優(yōu)部分正則性研究困難重重.為了克服這道難關(guān)，我們?cè)谧T忠和嚴(yán)子謙于1992年處理退縮橢圓方程組和障礙問(wèn)題的論文的啟發(fā)下。結(jié)合p-調(diào)和逼近技巧和Sobolev空間的性質(zhì)，推出了適當(dāng)形式的Caccioppoli不等式，從而得到-個(gè)頗具掙色的衰減(Decay)估計(jì)，使

10、得退縮橢圓方程組弱解的最優(yōu)部分正則性問(wèn)題迎刃而解。 3、非線性拋物方程組本部分應(yīng)用的是在A-調(diào)和逼近方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的A-熱調(diào)和逼近方法.由于這里的弱解u不但跟時(shí)間t有關(guān)而且沒(méi)有有界性條件，再加上缺乏相應(yīng)的Caccioppoli第二不等式，使得我們的研究舉步為艱。最終，我們?cè)趪?yán)子謙于1986年處理非線性拋物方程組的啟示下，充分挖掘可控增長(zhǎng)條件那些好的性質(zhì)，結(jié)合A-熱調(diào)和逼近技巧和解決非線性橢圓方程組的技巧，終于排除困境，得到

11、了具有可控增長(zhǎng)條件的非線性拋物方程組弱解的最優(yōu)部分正則性結(jié)果。 4、穩(wěn)態(tài)的Navier-Stokes方程組對(duì)于簡(jiǎn)單形式的穩(wěn)態(tài)的Navier-Stokes方程組的部分正則性以及奇異集的大小估計(jì)已有較好的結(jié)果，但對(duì)具有一般結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)的Navier-Stokes方程組，自1979年Giaquinta的工作之后就沒(méi)有好的結(jié)果，我們通過(guò)A-調(diào)和逼近技巧，結(jié)合以往處理該方程組的方法，同時(shí)注意到弱解的散度和梯度之間的關(guān)系，終于改進(jìn)了Giaqu

12、inta的結(jié)果，得到了該方程組的最優(yōu)部分正則性. 5、擬凸積分極小跟x,u無(wú)關(guān)且泛函的積分函數(shù)f(Du)的增長(zhǎng)指標(biāo)m>2的擬凸積分極小，我們采用A-調(diào)和逼近方法，充分應(yīng)用擬凸積分極小本身的特點(diǎn)，并結(jié)合A-調(diào)和逼近技巧和插值技巧得到所需的最優(yōu)部分正則性結(jié)果。 跟x，u有關(guān)且泛函的積分函數(shù)f(x，u，Du)的增長(zhǎng)指標(biāo)1