一類非線性項具有非局部性質(zhì)的波動方程全局解的非存在性問題

1、收稿日期：基金項目：國家自然科學基金項目（10976026）作者簡介：許勇強(1976)，男，講師，博士研究生通訊作者：yqx458@帶有分數(shù)積分的波動方程解的非存在性帶有分數(shù)積分的波動方程解的非存在性許勇強12(1閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，福建漳州3630002廈門大學物理與機電工程學院，福建，廈門，361005)摘要摘要:通過選擇恰當?shù)臋z驗函數(shù)與平移討論相結(jié)合，我們給出了一類非線性項具有非局部性質(zhì)的波動方程局部解和全局解存在的必要

2、條件。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:波動方程；非線性項；分數(shù)積分；全局非存在性；弱解。中圖分類號中圖分類號:O175.25文獻標示碼文獻標示碼:A1.引言引言本文主要研究下面的波動方程（1.1）dssustuuuptttt???????????02|)(|)()1(1)(???的弱解的非存在性問題。它滿足如下的初值條件（1.2）NtRxxuxuxuxu?????0)()0(0)()0(10其中，，是一般的拉普拉()(0)0nTxyQRTT???????

3、)10(??22221nxx?????????斯算子，表示在帶有介質(zhì)的媒體中傳播，定義如下：)20()(2??????，這里表示傅里葉變換，而則是它的逆變)))()((|(|)()(12xFFx??????????F1F?換。由于下面的極限)()1(1lim1ss??????????在分布意義下存在，所以方程（1.1）可以認為是經(jīng)典的半線性波動方程pttttuuuu|)(|)(2???????（1.3）的逼近問題，這里是歐拉函數(shù)。??顯

4、然，方程（1.1）中的非線性項包含自相似的記憶類型，且可以看作是RiemannLiouville積分算子?????ttdssgsttgJ01|.)()()(1)(????對于該算子，最早于1832年，Liouville引進了的特殊情形，然后于1876年，????Riemann考慮了的形式[1]。因而，方程（1.1）具有下面的形式0??2對應(yīng)的特征向量。那么就有???????????0)(2122kkkk?????????且.||||)(

5、||0|..)())((122)(2222????????????????????kkkkLuuutsLuD?????所以，對于任意的，有下列的性質(zhì)))((2????Dvu（2.2）?????????)())(()()()(22dxxuxdxxxu????關(guān)于更多的細節(jié)，可看文獻[12]。下面我們來定義RiemannLiouville分數(shù)左右導數(shù)。假設(shè)AC[0T]表示所有在上絕對連續(xù)的函數(shù)空間。那么如果則RiemannLiouville

6、)0](0[???TT]0[TACf?分數(shù)左右導數(shù)和可定義如下)(|0tfDt?)(|tfDTt?=)(|0tfDt????????????TttTtttTtdssftstfDtfJ]0[)()()1(1)()(|1|0????這里，)10()1)(0(??????qTLfq（2.3）?????ttdssfsttfJ01|0)()()(1)(???表示RiemannLiouville分數(shù)積分[3]。而且，對于任意的如果])0([TCgf

7、?)(|0tfDt?和存在且連續(xù)，我們有下面的分部積分公式[12])10]0[)((|?????TttgDTt(2.4)???TTTttdttgDtfdttgtfD00||0.))()(()())((??注意到當且時，我們有下面的公式[12]]0[1TACfN??0?N(2.5))()()1(||tfDtfDNTtTtNtN??????其中]0[]0[:]0[1TACfRTfTACtN?????表示一般意義下的N次導數(shù)。而且對于下面的公