高中數(shù)學(xué)橢圓的經(jīng)典知識(shí)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)橢圓的經(jīng)典知識(shí)總結(jié)高中數(shù)學(xué)橢圓的經(jīng)典知識(shí)總結(jié)橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.1.橢圓的定義橢圓的定義：12（1）橢圓橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）（參數(shù)方程，其中為x12222??byax222abc????cossinxayb?????參數(shù)），焦點(diǎn)在軸上時(shí)＝1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？y2222bxay?0ab??22AxByC??（ABC≠0，且A，B，C同號(hào)，A≠B）。2.2.橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)：（1）橢圓橢圓

2、（以（）為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：兩12222??byax0ab??axabyb??????個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱(chēng)性：兩條對(duì)稱(chēng)軸，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（00），四個(gè)頂點(diǎn)(0)c?00xy??，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2；④準(zhǔn)線(xiàn)：兩條準(zhǔn)線(xiàn)；⑤離心率：(0)(0)ab??ab2axc??，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。⑥通徑cea??01e??ee22ba2.點(diǎn)與點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；00()Pxy?2200221xy

3、ab??（2）點(diǎn)在橢圓上＝1；00()Pxy?220220byax?（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)00()Pxy?2200221xyab??3直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系：（1）相交：直線(xiàn)與橢圓相交；（2）相切：直線(xiàn)與橢圓相切；（3）相離：0???0???直線(xiàn)與橢圓相離；0???如:直線(xiàn)y―kx―1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_______（答：2215xym??[1，5）∪（5，∞））；4、焦半徑、焦半徑（圓錐曲線(xiàn)上的

4、點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法的計(jì)算方法：利用圓錐曲線(xiàn)的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離。0redaex???d如（如（1）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1162522??yx____（答：103）；（2）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使之值13422??yx)11(?PMFMP2?最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)______（答：）；)1362(?5、焦點(diǎn)

5、三角形、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題問(wèn)題：，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為bc；20tan||2Sbcy???0||yb?PmaxS橢圓知識(shí)點(diǎn)橢圓知識(shí)點(diǎn)1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，兩條對(duì)稱(chēng)軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式b

6、a確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型。2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量的幾何意義cba橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓cba的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且)0(??ba)0(??ca。)(222cba??可借助右圖理解記憶：顯然：恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，cbab、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程

7、，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看，的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。2x2y4方程是表示橢圓的條件均不為零）CBACByAx(22??方程可化為，即，所以只有A、B、C同號(hào)，且AB時(shí)，方CByAx??22122??CByCAx122??BCByACx?程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。BCAC?xBCAC?y5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：①待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類(lèi)型，設(shè)出

8、標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；cba②定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，12222??byax)0(??ba12222????mbymax)(2bm??此類(lèi)問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線(xiàn)關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的依據(jù)：xy①若把曲線(xiàn)方程中的換成，方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；xx?