非自反Banach空間中的非線性發(fā)展方程.pdf

1、本文應(yīng)用壓縮映像原理和調(diào)和分析工具(特別是利用Littlewood-Paley理論、時(shí)空估計(jì)等)，在非自反Banach空間中研究高階非線性發(fā)展方程、三維空間中非線性波動(dòng)方程組和Schrodinger方程組的Cauchy問(wèn)題的整體適定性，以期獲得自相似解.其主要技術(shù)是將基本工作空間推廣到非自反的Banach空間X，使得X容許那些具有自相似結(jié)構(gòu)的初始函數(shù).相應(yīng)地將適定性中解在t=0處的連續(xù)性放寬成弱連續(xù).同時(shí)，對(duì)于高階波動(dòng)方程和非線性波動(dòng)方

2、程組，我們還證明了有限能量解的存在唯一性. 本文的主要內(nèi)容分為以下五個(gè)部分：第一部分：考慮了帶有非線性項(xiàng)|u|αu的高階波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題.當(dāng)α0＜α＜4m/n-2m，n＞2m和α0＜α＜+∞，n≤2m時(shí)，證明了在空間Lα+2(Rn)上存在唯一的整體解和有限能量解.其中α0是方程(n-m)x2+(n-4m)x-4m=0的正根.之后，通過(guò)定義α的容許值及正則指標(biāo)s的取值范圍，證明了空間Hsp(Rn)中整體解的存在唯一性，并

3、得到了此問(wèn)題的自相似解. 第二部分：通過(guò)建立齊次高階線性拋物型方程初值問(wèn)題解的Lp-Lq估計(jì)，應(yīng)用壓縮映像原理研究了一類(lèi)高階非線性拋物型方程Cauchy問(wèn)題的整體解和自相似解的存在唯一性.同時(shí)，也得到了漸近自相似解. 第三部分：通過(guò)在Lorentz空間和Besov空間中建立新的非線性估計(jì)，使用不動(dòng)點(diǎn)定理和廣義Strichartz估計(jì)，證明了高階非線性Schrodinger方程初值問(wèn)題在容許具有自相似結(jié)構(gòu)的初始函數(shù)的廣義B

4、esov空間中是整體適定的.從而得到了小初值情形下的自相似解. 第四部分：證明了當(dāng)初值在原點(diǎn)有奇性，在無(wú)窮遠(yuǎn)處緩慢衰減時(shí)，一類(lèi)非線性波動(dòng)方程組的Cauchy問(wèn)題的整體適定性.由于這類(lèi)初值容許階數(shù)分別為-mj和-mj-1，j=1，2i的齊次初值，所以，所得的整體解包含自相似解.此外，我們還證明了漸近自相似解的存在性. 第五部分：在單個(gè)Schrodinger方程Cauchy問(wèn)題的整體解和自相似解的研究基礎(chǔ)上，證明了三維空間中