非線性微分方程的多層擴(kuò)充法研究.pdf

1、本篇博士論文主要研究了非線性微分方程的多層擴(kuò)充法.本文針對(duì)較一般的非線性算子,在文獻(xiàn)[40]的基礎(chǔ)上,發(fā)展了求解第二類非線性算子方程的多層擴(kuò)充法理論框架,證明了該算法具有最優(yōu)收斂階和線性計(jì)算復(fù)雜度.然后給出了求解非線性微分方程兩點(diǎn)邊值問題和兩類重要非線性發(fā)展方程的多層擴(kuò)充算法,并獲得了相應(yīng)的誤差估計(jì)和收斂性結(jié)果.數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了理論估計(jì)的正確性和算法的高效性.全文共分為六章.
　　 第一章為緒論.簡(jiǎn)單介紹了非線性算子的基本概念和性

2、質(zhì),以及求解非線性算子方程的投影逼近格式,然后簡(jiǎn)要回顧了多尺度快速算法與多層擴(kuò)充算法的發(fā)展歷史.最后介紹了本文的主要工作.
　　 第二章研究第二類非線性算子方程的多層擴(kuò)充法.給出了求解第二類非線性算子方程的多層擴(kuò)充法框架,證明了該算法可以達(dá)到最佳收斂階.同時(shí)給出了基于多尺度Galerkin方法和配置法的多層擴(kuò)充法的離散形式,并在一定條件下,證明了算法具有線性計(jì)算復(fù)雜度.
　　 第三章給出了求解非線性微分方程兩點(diǎn)邊值問題的

3、多層擴(kuò)充法,證明了擴(kuò)充解具有最佳收斂階,并通過數(shù)值算例驗(yàn)證了理論估計(jì)的正確性.
　　 第四章對(duì)非線性雙曲型的代表方程-sine-Gordon方程,給出相應(yīng)的多層擴(kuò)充算法.本章首先給出sine—Gordon方程的半離散和全離散格式的H1和L2誤差估計(jì).然后證明它的全離散格式在每個(gè)時(shí)間步上等價(jià)為一個(gè)非線性算子方程,并符合第二章的多層擴(kuò)充法框架.最后將多層擴(kuò)充算法應(yīng)用于sine-Gordon方程的求解,并給出了擴(kuò)充解的誤差估計(jì),證明了

4、擴(kuò)充解具有與投影解相同的最佳收斂階.
　　 第五章對(duì)非線性拋物型的代表方程-Burgers'方程,給出相應(yīng)的多層擴(kuò)充算法.本章先給出求解Burgers'方程的Crank-Nicolson-Galerkin格式,并獲得近似解的H1和L2誤差估計(jì).然后證明它的全離散格式在每個(gè)時(shí)間步上等價(jià)于一個(gè)非線性算子方程,并符合第二章的多層擴(kuò)充法框架.最后我們給出求解Burgers'方程的多層擴(kuò)充算法和誤差估計(jì),證明了擴(kuò)充解具有與投影解相同的最佳