相伴隨機變量序列的極限性質(zhì)及其應用.pdf

1、全文共分三章： 第一章，基本概念及其基本性質(zhì)的簡要回顧 一直以來相依隨機變量序列的理論研究都是概率極限理論研究者們的熱門話題.對于正負相依的基本概念起源于Harris(1960).在這里我們只考慮正相伴和負相伴兩種情形.此章中我們主要回顧了它們的基本概念和主要性質(zhì).如： 對PA隨機變量序列，Rao(2002)給出了如下著名的Hejek-Renyi型不等式： 設{Xn，n≥1}是PA列，且具有有限方差，{b

2、n，n≥1}是一列正的單調(diào)不減的實數(shù).則對(A)ε＞0，有P(max1≤k≤n|1/bnk∑i=1(Xi-EXi)|≥ε)≤4/ε2{n∑j=1VarXj/b2j+∑1≤j≠k≤nCov(Xj,Xk)/bjbk}. 對NA隨機變量序列，Matula(1992)給出了其部分和的幾乎處處收斂性定理： 設{εn,n≥1}是一列具有0均值，有限方差的NA隨機變量.如果∑∞n=1Var(εn)＜∞，則∑∞n=1εn收斂a.s.

3、 而且本文對多元回歸模型中最小二乘估計的強相合性列出了一些前人的主要結論. 第二章，PA隨機變量序列的Hajek-Renyi型不等式的應用 本章在一定條件下對PA隨機變量序列建立了其部分和的強大數(shù)定律型的結果以及X1，X2，…，Xn的算術平均的完全收斂型的結果.已有學者對此做了研究，但本文采用的是不同的方法進行論證，即其方法是建立在Hajek-Renyi型不等式之上的. 下面列舉一下本文的主要結論，對一般的強

4、大數(shù)定律有： 設{Xn，n≥1}是PA序列，{gn(x)，n≥1}是偶函數(shù)序列，它們在區(qū)間x＞0中取正值，不減.而且對每一個n滿足下列條件之一： (i)在區(qū)間x＞0中，x/gn(x)不減；(ii)在區(qū)間x＞0中，x/gn(x)和gn(x)/x2都是不增的，且EXn=0.此外{an,n≥1}是常數(shù)列，滿足0＜an↑∞和∑∞n=1(Egn(Xn)/gn(an))1/2＜∞.則當n→∞時，1/ann∑k=1Xk→0a.s.

5、 基于這一定理本文取特殊的偶函數(shù)序列{gn(x)，n≥1}及常數(shù)列{an，n≥1}得到了兩個有用的推論. 對完全收斂性我們有： 設{Xn，n≥1}是PA序列，滿足對(A)ε＞0，有∞∑j=1VarXj/j2+∞∑j≠k=1Cov(Xj,Xk)/j·k＜∞，和∞∑j≠k=1P(|j∑i=1(Xj-EXj)|≥jε，|k∑i=1(Xi-EXi)|≥kε)＜∞.則有∞∑n=1P(|n∑i=1(Xi-EXi)|≥nε)＜∞.

6、對加權和的穩(wěn)定性我們有： 設正數(shù)列{ωi，i≥1}滿足：Wn=∑ni=1ωi↑∞，且當n→∞時，ωn/Wn→0；PA列{Xn，n≥1}滿足：EXn=0，n≥1；∑n≥1P(|Xn|≥bn)＜∞；∑n≥1/bnEXbnn＜∞；∑n≥1W-2nn∑j=1ωjωnCov(xbjj，Xbnn)＜∞.其中bn=Wn/ωn，n≥1.則當n→∞時，Tn-ETn/Wn→0a.s.其中Tn=∑1≤i≤nωiXi,n≥1. 第三章，具有NA

7、誤差項的多元回歸模型中最小二乘估計的強相合性 在這一章中考慮多元回歸模型：yi=β1xi1+β2xi2+…+βpxip+εi，(i=1，2，…)，(0.3.1)在對誤差項和設計矩陣限制了一定的條件下建立了具有NA誤差項的多元回歸模型中系數(shù)的最小二乘估計的強相合性，并且進一步得到了NA序列的樣本均值的加權和的幾乎處處收斂性的結果. 本文的主要結果有：設{εn，n≥1}是一NA列，滿足Eεn=0，∑∞n=1Var(εn)＜∞

8、.設k是某一正整數(shù)，對每一個n≥1，令Tn是一個k維常數(shù)向量，當k=1時，T1，T2，…，Tn,…是同號序列.令Hn=∑ni=1TiTi′.假設對某正整數(shù)m，Hm是正定矩陣.且若對同號常數(shù)序列{cn，n≥1}有：∑∞i=m+1ci2(1+T′iH-1i-1Ti)＜∞.則依概率1，有∑ni=m+1ciT′iH-1i-1(∑ij=1Tjεj)收斂，當n→∞時. 作為此結論的特殊情形就是k=1和Ti=1時，此時本文以推論的形式給出了N

9、A序列的樣本均值的加權和的幾乎處處收斂性. 在上述結果的基礎上得到了具有NA誤差項的多元回歸模型中最小二乘估計的強相合性結論： 在模型(0.3.1)中，設{εn，n≥1}是一NA列，滿足Eεn=0，∑∞n=1Var(εn)＜∞.假設對某正整數(shù)m，X′mXm是正定矩陣.對n≥m，設bn=(bn1，bn2，…，bnp)是模型(0.3.1)的系數(shù)的最小二乘估計.令Vn=(v(n)ij)1≤i，j≤p=(X′nXn)-1.